【概率论】6-1:大样本介绍(Large Random Samples Introduction)

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title: 【概率论】6-1:大样本介绍(Large Random Samples Introduction)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- Large Random Samples
toc: true
date: 2018-04-07 14:43:51

Abstract: 本文作为第六章的开篇主要介绍第六章我们要研究的内容
Keywords: Large Random Samples

开篇废话

身着简陋而举止优雅，身着华丽而举止粗俗，比选其一的话，我更愿意尊重第一种类型。
本章我们介绍一些近似的结果，简化大量随机样本的分析。

Introduction

本文通过两个例子来举例两个不同的分析方向，并有不同的分析工具。

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? ：
扔一个硬币，你可能感觉出现正反面的概率基本相同，也就是出现正面的概率大概是 12\frac{1}{2}21​ ,然而，当你扔10次，出现五次正面的可能性不一定很大。如果你扔100次，也不一定出现正好的50次正面。多次扔硬币的过程可以通过我们前面介绍的二项分布来建模，参数是扔硬币的次数 $n$ 和正面出现的概率 12\frac{1}{2}21​ 。那么上述两种情况的概率：
(1)Pr(X=5)=(105)(12)5(1−12)5=0.2461 Pr(X=5)=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}(\frac{1}{2})^{5}(1-\frac{1}{2})^{5}=0.2461\tag{1} Pr(X=5)=(105​)(21​)5(1−21​)5=0.2461(1)
100次其中50次的概率
(2)Pr(Y=50)=(10050)(12)50(1−12)50=0.0796 Pr(Y=50)=\begin{pmatrix}100\\50\end{pmatrix}(\frac{1}{2})^{50}(1-\frac{1}{2})^{50}=0.0796\tag{2} Pr(Y=50)=(10050​)(21​)50(1−21​)50=0.0796(2)

可见在一定次数 $n$ 的独立实验中，出现 $n/2$ 的次数的概率并不大，并且试验次数越多，这个概率越小。
但是如果我们把这个概率稍微移动一下，产生一个区间，那么这个概率会急剧上升。
Pr(0.4≤Y100≤0.6)=Pr(40≤Y≤60)=∑i=4060(100i)(12)i(1−12)100−i=0.9648 Pr(0.4\leq \frac{Y}{100}\leq 0.6)=Pr(40\leq Y\leq 60)=\sum^{60}_{i=40}\begin{pmatrix}100\\i\end{pmatrix}(\frac{1}{2})^{i}(1-\frac{1}{2})^{100-i}=0.9648 Pr(0.4≤100Y​≤0.6)=Pr(40≤Y≤60)=i=40∑60​(100i​)(21​)i(1−21​)100−i=0.9648
即使n不大的到时候
Pr(0.4≤X10≤0.6)=Pr(4≤X≤6)=∑i=46(10i)(12)i(1−12)10−i=0.6563 Pr(0.4\leq \frac{X}{10}\leq 0.6)=Pr(4\leq X\leq 6)=\sum^{6}_{i=4}\begin{pmatrix}10\\i\end{pmatrix}(\frac{1}{2})^{i}(1-\frac{1}{2})^{10-i}=0.6563 Pr(0.4≤10X​≤0.6)=Pr(4≤X≤6)=i=4∑6​(10i​)(21​)i(1−21​)10−i=0.6563

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