最长不下降子序列的O(n*logn)算法

最新推荐文章于 2021-04-17 17:47:25 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/noip/archive/2011/12/17/2291258.html

本文深入探讨了一种改进的算法，用于解决最长不下降子序列问题，该算法将时间复杂度优化至O(n*logn)。通过构建辅助数组并采用二分查找策略，有效提高了搜索效率。文章详细解释了算法的核心思想、步骤以及复杂度分析，并提供了实际代码实现，旨在为读者提供一种高效且实用的解决方案。

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刚学习的新方法，求最长不下降子序列是DP等经典问题，本来O(n*n)的算法已经是够强了，但还存在O(n*logn)的算法。~\(≧▽≦)/~。

分析如下：

O(nlogn)的算法关键是它建立了一个数组c[]，c[i]表示长度为i的不下降序列中结尾元素的最小值，用K表示数组目前的长度，算法完成后K的值即为最长不下降子序列的长度。

具体点来讲：

设当前的以求出的长度为K，则判断a[i]和c[k]：

1.如果a[i]>=c[k]，即a[i]大于长度为K的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加1，即K=K+1,然后现在的c[k]=a[i]；

2.如果a[i]<c[k]，那么就在c[1]...c[k]中找到最大的j,使得c[j]<a[i],然后因为c[j]<a[i]，所以a[i]大于长度为j的序列的最后一个元素，那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素，即c[j+1]=a[i]。

算法复杂度的分析：

因为共有n个元素要进行计算；每次计算又要查找n次，所以复杂度是O(n^2)，但是，注意到c[]数组里的元素的单调递增的，所以我们可以用二分法，查找变成了logn次。这样算法的复杂度就变成了O(nlogn)。

具体算法实现请看代码:

#include<iostream>
using namespace std;

int a[101],c[101];

int find(int len,int n){
    int left=1,right=len,mid;
    while(left<=right)
    {
     mid=(left+right)/2;
     if(c[mid]==n) return mid;
     else if(c[mid]>n) right=mid-1;
     else if(c[mid]<n) left=mid+1;
                      }
     return left;
    }

int main()
{
    int n,i,j,k,len;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    cin>>a[i];

    c[1]=a[1];
    len=1;

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
     j=find(len,a[i]);
     c[j]=a[i];
     if(j>len)
     len=j;
                     }

    cout<<len;
    system("pause");
    return 0;
    }

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