点亮灯笼

题意：长度为1的01序列，其中有m个1，每次操作可以将某个1旁边的0改成1，求方案数，对10^9+7取模

/*
  又是一道数论，没想出正解来，打了个暴力
  这个题可以等价于给出一个01序列，每次可以把某个1旁边的0变成1，直到序列全部为1。那么我们可以把这个序列以初始的1为分界点分成若干段num，每一段的取的方案数是2^(len-1)（除了第一段和最后一段之外，第一段和最后一段是1），那么现在的问题就变成了从num段中每次取一个的方案数，是n!,因为里面有重复的，所以变成 num!/(len1!*len2!* …… *) 。 答案就是 fangan1*fangan2*……*num!/(len1!*len2!* …… *)。
  至于有除法的mod，不会逆元，用质因数分解做的，这里涉及到分解 n！的一个定理： 当第i个素数为P 时，c[i]= n/p+n/(p*p)+n/(p*p*p)……（直到n/(p*……*p变成0） 
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define N 100010
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll len[N],prime[N],c[N],num,vis[N],f[N],n,m,ans=1;
ll pow(ll x,ll y)
{
    ll tot=1;
    for(ll i=1;i<=y;i++)tot*=x,tot%=mod;
    return tot;
}
void j1(ll x)
{
    for(ll i=1;i<=num;i++)
    {
        ll P=prime[i];
        while(P<=n)
        {
            c[i]+=x/P;
            P*=prime[i];
        }
    }
}
void j2(ll x)
{
    for(ll i=1;i<=num;i++)
    {
        ll P=prime[i];
        while(P<=n)
        {
            c[i]-=x/P;
            P*=prime[i];
        }
    }
}
void Prime()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
      if(!f[i])
      {
          prime[++num]=i;
          for(int j=2;i*j<=n;j++)
            f[i*j]=1;
      }
}
int main()
{
    //freopen("jh.in","r",stdin);
    freopen("lantern.in","r",stdin);
    freopen("lantern.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        ll x;cin>>x;
        vis[x]=1;
    }
    ll sum=0;vis[n+1]=1;
    for(ll i=1;i<=n+1;i++)
      if(vis[i])len[++len[0]]=sum,sum=0;
      else sum++;
    Prime();j1(n-m);
    for(int i=1;i<=len[0];i++)
      j2(len[i]);
    for(int i=2;i<len[0];i++)
      ans=ans*pow(2,len[i]-1),ans%=mod;
    for(int i=1;i<=num;i++)
      ans*=pow(prime[i],c[i]),ans%=mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

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