POJ2891 Strange Way to Express Integers

　　原题传送：http://poj.org/problem?id=2891

　　求线性同余方程组。

　　我对线性同余方程组的求解思路是这样的：

　　假设有同余方程组：

　　　　x ≡ r₁ (mod a₁)　(1)

　　　　x ≡ r₂ (mod a₂)　(2)

　　此方程组可转化为：

　　　　x ≡ a₁ * t + r₁　　(3)

　　　　x ≡ a₂ * u + r₂    (4)

　　由(3)、(4)式容易得到 a₁ * t + r₁ = a₂ * u + r₂，运用扩展欧几里得求解二元一次方程可得一个解 t = x₀，设d = gcd(a₁, a₂)，m₀ = a₂ / d，那么 t 的剩余系为：x₀ + m₀，x₀ + 2 * m₀，…… ，x₀ + (d - 1) * m₀，那么，归纳为：

　　　　t ≡ x₀ (mod m₀)

　　也就是

　　　　t = m₀ * u + x₀ 　(5)

　　把(5)式代入(3)式得到

　　　　 x = a₁ * (m₀ * u + x₀) + r₁

　　则 x = a₁ * m₀ * u + a₁ * x₀ + r₁ 

　　好了，令r₃ = a₁ * x₀ + r₁，a₃ = a₁ * m₀ * u，将上式换成下面的样子：

　　　　x ≡ r₃ (mod a₃)

　　这就是(1)、(2)式合并后的式子了，方程组有多条式子，同样的方式一步一步合并下去得到最终的 r 就是所求。

View Code

 1 #include <stdio.h>
 2 #define LL long long
 3 
 4 void exgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
 5 {
 6     if(b == 0)
 7         x = 1, y = 0, d = a;
 8     else
 9         exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b);
10 }
11 
12 int main()
13 {
14     LL n, i, a1, r1, a2, r2, a, b, c, d, x0, y0;
15     while(scanf("%lld", &n) != EOF)
16     {
17         bool flag = true;
18         scanf("%lld%lld", &a1, &r1);
19         for(i = 1; i < n; i ++)
20         {
21             scanf("%lld%lld", &a2, &r2);
22             a = a1, b = a2, c = r2 - r1;
23             exgcd(a, b, d, x0, y0);
24             if(c % d != 0)
25                 flag = false;
26             LL t = b / d;
27             x0 = (x0 * (c / d) % t + t) % t;
28             r1 = a1 * x0 + r1;
29             a1 = a1 * t;
30         }
31         if(!flag)
32             puts("-1");
33         else
34             printf("%lld\n", r1);
35     }
36     return 0;
37 }

 

　　　　

　　

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