CF821E 【Okabe and El Psy Kongroo】

最新推荐文章于 2020-08-10 16:30:14 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Lance1ot/p/9325884.html

本文介绍了一种通过矩阵快速幂优化动态规划(DP)的方法，适用于纵坐标范围较小的问题。文章详细展示了如何将原始DP方程转换为矩阵形式，并通过快速幂算法提高效率。特别讨论了边界条件的影响及处理方式。

首先我们从最简单的dp开始

\(dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j+1]+dp[i-1][j-1]\)

然后这是一个O(NM)的做法，肯定行不通，然后我们考虑使用矩阵加速

\(\begin{bmatrix} 1\\ 0 \\0\\0\end{bmatrix}\quad\)

鉴于纵坐标很小，考虑全部记录下来。写成一个向量的形式。如上，
第i行的数表示纵坐标为i-1的方案数。

然后我们考虑转移

\(\begin{bmatrix} 1&1&0&0\\1&1&1&0 \\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}\quad\)

我们将不考虑线段的转移写成以上形式，然后考虑一下如果有线段影响呢？

我们可以类比得到，上一个矩阵中的边界是3，如果我们人为规定上边界是2的话。转移就成了这个样子

\(\begin{bmatrix} 1&1&0&0\\1&1&1&0 \\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\quad\)

然后我们发现，如果不是上边界和下边界时，matrix[i][i].matrix[i][i-1].matrix[i][i+1]都是1，然后上下边界自己处理就可以了。

然后我们上一个矩阵快速幂就可以了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
struct node
{
    int n,m;
    long long base[20][20];
    node operator * (const node &a)const 
    {
        node r;
        r.n=n,r.m=a.m;
        for(int i=0;i<=n;i++)   for(int j=0;j<=a.m;j++) r.base[i][j]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=a.m;j++)
                for(int k=1;k<=m;k++)
                    r.base[i][j]=(r.base[i][j]+base[i][k]*a.base[k][j])%mod;
        return r;
    }
};//矩阵模板
node pas,ans;
long long a[120],b[120],c[120];
node kasumi(long long k)
{
    node res;
    res.n=res.m=pas.n;
    for(int i=0;i<=res.n;i++)   for(int j=0;j<=res.m;j++)   res.base[i][j]=0;
    for(int i=0;i<=res.n;i++)   res.base[i][i]=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=res*pas;
        pas=pas*pas;
        k>>=1;
    }
    return res;//快速幂
}
int main()
{
    long long n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ans.n=1;ans.m=16;
    for(int i=1;i<=16;i++)  for(int j=1;j<=16;j++)  ans.base[i][j]=0;//读入数据
    ans.base[1][1]=1;//处理初始数据
    pas.n=16;pas.m=16;
    for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%lld%lld%lld",&a[i],&b[i],&c[i]);//输入
    for(int l=1;l<=n;l++)//然后按照顺序遍历线段
    {
        for(int i=0;i<=16;i++)  for(int j=0;j<=16;j++)  pas.base[i][j]=0;//重新清零
        for(int i=1;i<=c[l]+1;i++)
        {//处理转移数组
            if(i!=1)    pas.base[i][i-1]=1;
            pas.base[i][i]=1;
            if(i!=c[l]+1)   pas.base[i][i+1]=1;
        }
        ans=ans*kasumi(min(b[l],k)-a[l]);//快速幂就可以了
    }
    printf("%lld",ans.base[1][1]);
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Lance1ot/p/9325884.html