n个1组成的整数能被2013整除c语言,求大神解算法，“编写程序，求n至少为多大时，n个1组成的整数能被2013 整除。”...

编写程序，求n至少为多大时，n个1组成的整数能被2013 整除。

使用python黑科技:

i = 1

while int('1' * i) % 2013:

i += 1

print(i)

不使用黑科技:

i = s = t = 1

while s % 2013:

i += 1

t = t * 10 % 2013

s = (s + t) % 2013

print(i)

而事实上可以从数论的角度看。

2013=3*11*61

，故:

欲被3整除，n得是3的倍数

欲被11整除，n得是2的倍数

故 n 是 6 的倍数。

而n个1若被 61 整除，则n个9亦然。因为 61 和 10 互素，由费马小定理知 60 符合条件。故只须尝试 6，12，30 这三个数即可。

楼上已经有答案了，但私以为没有解释的很详细，因此才有此次回答。

首先，先列下本次回答的题纲:

代码解法(由于没有做要求，就用JS实现了)

数论解法(费马小定理)

代码解法

function getMinDividedNum(n) {

var sum = 1,

len = 1;

while (sum % n) {

len++;

sum = (sum % n) * 10 + 1;

}

return len;

}

// 测试用例-注意，并不是所有数字都能输入，只能是素数或者由素数乘积组成的数

var num = 2013;

console.log('n:' + num + ',len:' + getMinDividedNum(num));

//输出:n:2013,len:60

代码详解

以上代码的核心其实就是判断

1,11,111

等N位数能否被n整除，也就是

sum=sum*10+1

。

但是考虑到最大值边界问题，于是将上述公式换为了

sum= (sum % n)*10+1

之所以能这样转换，是因为: (举例)

譬如判断

111

是否能被3整除

可以是

(1*10+1)*10+1

也可以是判断

第一步: 1%3=1 (1整除3的余数为1)

第二步: 11%3=2 (11整除3的余数为2)

第三步: 21%3=0 (符合条件)

换一个思路，假如判断(8+7)是否能被3整除，那么我们只需要现将它们能被3整除的部分去除调，用余数累加起来判断即可，也就是说只需要判断

2+1

能否被3整除即可

数论解法

费马小定理简介

首先得知道的是，费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况，欧拉定理描述的是关于同余的性质，而费马定理如下:

假如a是整数，p是质数，且a，p互质(两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1

即

a^(p-1)%p=1

费马小定理在本题中的应用

关键来了，本题与费马小定理有什么关系呢？

如上楼中有人提到，本题中，

2013=3*11*61

，所以需要满足

能被3整除

能被11整除

能被61整除

而前两者很容易就根据下面的条件判断出:

若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

因此马上就可以将条件转换为:

n得是3的倍数(因为n个1加起来要是3的倍数)

n得是2的倍数(奇位和偶数直接的差为0)

因此n是6的倍数

n个1这个数(x)能被61整除

接下来就剩下了一个问题: n个1能被61整除，需要满足什么？接下来费马小定理就派得上用处了。

我们可以得知: 61和10互素。

所以套用上述的公式，可以得出:

10^(60)%61=1

所以:

10^(60)-1=0 (mod 61)

而

10^60 -1

就是

60个9组成的数

，也就是说 60个9组成的数能够被61整除。

那么自然60个1组成的数能够被61整除(因为61与3无关)，同时60又是6的倍数，因此满足条件。

更新，之前有不严谨之处

继续判断，60的符合条件的约数(6的倍数)有，6，12，30，60。

检查计算得出后可以知道只有60满足条件。

因此得出了结论: n至少为60时，n个1组成的数能够被2013整除

function sum($num,$int=1){

$sum = 0;

foreach (range(0,$num-1) as $key => $value) {

$sum += $int*pow(10,$value);

}

return $sum;

}

$i=1;

while($i++) {

if (sum($i) % 2013 == 0) {

echo $i;//26

break;

}

}

var num = 2013;

var pow = Math.pow;

var floor = Math.floor;

var result = '';

var temp = 0;

var i = 0;

var flag = true;

while(flag){

for (var n = 0; n < 10; n++) {

if ((3 * n + (temp%10)) % 10 === 1) {

result = n + result;

temp = floor((num*result)/pow(10, i + 1));

break;

}

}

if(/1{3,4}/.test(temp.toString())){

flag = false;

}

i++;

}

console.log(result);//55196776508251918087983661754153557432245956836120770547

console.log(result*2013);//1.1111111111111112e+59

跟楼上大神推理的结果一致，60个