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最新推荐文章于 2025-08-12 18:32:44 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Noevon/p/7823169.html

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#数据结构与算法

本文介绍了一种使用组合数学和容斥原理解决特定染色方案计数问题的方法，并提供了详细的算法实现过程及代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：n个花盆，m种颜色，要求必须用k种颜色染色这n个花盆，问有多少种方案

题解：可以想到少于等于k种颜色的方案数 g(k) = c(m, k)*k*(k-1)^(n-1)这个很简单，关键在于要去算等于k的答案,这里不能用f(k)-f(k-1)因为小于k的颜色不一定只出现一次。。。

可以想到用容斥去重，这里假设g(k)恰好是k种颜色的答案，可以得到f(k) = sum(c(k, i)*g(i)) (2<=i<=k), 反演一下就是g(k) = sum(-1^(k-i)*c(k, k-i)*f(i)) 而f(i) = k*(k-1)^(n-1)

注意要预处理，不然会超时

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000100
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
using namespace std;
ll exp_mod(ll a,ll b,ll p){
    ll ans = 1;
    a %= p;
    while(b){
        if(b&1) ans = ans*a%p;
        a = (a*a)%p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll inv[maxn], c[maxn];
int main(){
    ll T, n, m, k, ans, num=1, temp, flag, ans1;
    for(ll i=1;i<=1e6;i++) inv[i] = exp_mod(i, mod-2, mod);
    scanf("%lld", &T);
    while(T--){
        ans = 1, flag = 1, ans1 = 0;
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
        c[0] = 1;
        for(ll i=1;i<=k;i++) c[i] = c[i-1]*(m-i+1)%mod*inv[i]%mod;
        ans = c[k];
        for(ll i=1;i<=k;i++) c[i] = c[i-1]*(k-i+1)%mod*inv[i]%mod;
        for(ll i=k;i>=1;i--) ans1 = (ans1+flag*c[i]%mod*i%mod*exp_mod(i-1, n-1, mod)%mod)%mod,flag *= -1;
        printf("Case #%lld: %lld\n", num++, (ans*ans1%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}