暴力推导 Beta 函数与 Gamma 函数关系式

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).

其中

Γ(x)=∫+∞0e−ttx−1dt,B(x,y)=∫10tx−1(1−t)y−1dt.Γ(x)=∫0+∞e−ttx−1dt,B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dt.

证明

Γ(x)Γ(y)=∫+∞0e−ttx−1dt∫+∞0e−ssy−1ds=∫+∞0∫+∞0e−(s+t)tx−1sy−1dsdt=4∫+∞0∫+∞0e−(u2+v2)u2x−2v2y−2⋅uvdudv(t=u2,s=v2)=4∫+∞0∫+∞0e−(u2+v2)u2x−1v2y−1dudv=∫+∞−∞∫+∞−∞e−(u2+v2)|u|2x−1|v|2y−1dudv=∫+∞0∫2π0re−r2r2x−1|cosθ|2x−1r2y−1|sinθ|2y−1drdθ(u=rcosθ,v=rsinθ)=∫+∞0re−r2r2x+2y−2dr∫2π0|cosθ|2x−1|sinθ|2y−1dθ=12∫+∞0e−r2r2(x+y−1)dr2∫2π0|cosθ|2x−1|sinθ|2y−1dθ=12Γ(x+y)∫2π0|cosθ|2x−1|sinθ|2y−1dθ=Γ(x+y)⋅2∫π20cos2x−1θsin2y−1θdθ=Γ(x+y)⋅2∫10tx−12(1−t)y−1212t−12(1−t)−12dt(t=cos2θ,sinθ=(1−t)12,dt=−2t12(1−t)12dθ)=Γ(x+y)∫10tx−1(1−t)y−1dt=Γ(x+y)B(x,y).Γ(x)Γ(y)=∫0+∞e−ttx−1dt∫0+∞e−ssy−1ds=∫0+∞∫0+∞e−(s+t)tx−1sy−1dsdt=4∫0+∞∫0+∞e−(u2+v2)u2x−2v2y−2⋅uvdudv(t=u2,s=v2)=4∫0+∞∫0+∞e−(u2+v2)u2x−1v2y−1dudv=∫−∞+∞∫−∞+∞e−(u2+v2)|u|2x−1|v|2y−1dudv=∫0+∞∫02πre−r2r2x−1|cos⁡θ|2x−1r2y−1|sin⁡θ|2y−1drdθ(u=rcos⁡θ,v=rsin⁡θ)=∫0+∞re−r2r2x+2y−2dr∫02π|cos⁡θ|2x−1|sin⁡θ|2y−1dθ=12∫0+∞e−r2r2(x+y−1)dr2∫02π|cos⁡θ|2x−1|sin⁡θ|2y−1dθ=12Γ(x+y)∫02π|cos⁡θ|2x−1|sin⁡θ|2y−1dθ=Γ(x+y)⋅2∫0π2cos2x−1⁡θsin2y−1⁡θdθ=Γ(x+y)⋅2∫01tx−12(1−t)y−1212t−12(1−t)−12dt(t=cos2⁡θ,sin⁡θ=(1−t)12,dt=−2t12(1−t)12dθ)=Γ(x+y)∫01tx−1(1−t)y−1dt=Γ(x+y)B(x,y).

故

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).□B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).◻

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