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最新推荐文章于 2021-02-17 13:26:15 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/jie-dcai/p/4003276.html

本文详细介绍了如何解决一个组合数学问题，通过结合费马小定理与全排列公式，成功求解了一个涉及系数r的难题。作者通过实例分析，展示了将2*n个位置视为圆周排列的方法，并纠正了现有公式中的错误，最终通过费马小定理求得逆元，解决了问题。

做出这题，小有成就感

本来已打算要用那个禁位的排列公式，可是，问题在于，每个阶乘前的系数r的求法是一个难点。

随便翻了翻那本美国教材《组合数学》，在容斥原理一章的习题里竟有一道类似，虽然并无答案，但他的注意倒是提醒了我。不妨把那2*n个位置看成排成一个圆周的一列，从中选出k个不相邻的数的组合数。不过，经我验证，他上面的那道公式是错的，应该把n改成2*n才对。哈哈，问题就这样解决了。

在计组合数时，不妨使用全排列的公式，又由于100.。。0007是一个质数，所以可以使用费马小定理在处理各个阶乘除法时求得逆元。

解决。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MOD 1000000007
#define N 200005
using namespace std;

typedef long long LL;

LL f[N];

void initial(){
	f[0]=1;
	for(LL i=1;i<N;i++)
	f[i]=(f[i-1]*i)%MOD;
}

LL quick(LL p,LL r){
	LL ans=1;
	while(r){
		if(r&1)
		ans=(ans*p)%MOD;
		r>>=1;
		p=(p*p)%MOD;
	}
	return ans;
}

int main(){
	initial();
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		if(n<3){
			printf("0\n");
			continue;
		}
		LL ans=f[n];
		int s=2*n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			LL uper=((LL)s*f[s-i-1])%MOD;
			LL down=(f[s-2*i]*f[i])%MOD;
			down=quick(down,MOD-2);
			LL res=(((uper*down)%MOD)*f[n-i])%MOD;
			if(i&1){
				ans=((ans-res)%MOD+MOD)%MOD;
			}
			else ans=((ans+res)%MOD+MOD)%MOD;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

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