组合数学总结

组合数学学得太渣，所以全是博客全是锅不要打我

Orz Sunshine课件

计数原理

加法原理和乘法原理，好像没啥可说的。。

两个公式

1.排列公式$A(n,m)=n!/(n-m)!$

2.组合公式$C(n,m)=n!/m!(n-m)!$

计数的方法策略

大概下面的题目和例子更偏向于高考数学？？2333

1.特殊元素位置优先

例：用0,1,2,3,4,5能够组成多少个不重复的5位奇数

解法：

考虑末尾,有$C(3,1)$种选法

考虑开头,有$C(4,1)$种选法.

然后考虑其他位置,有$A(4,3)$种选法

所以答案就是$C(3,1)*C(4,1)*A(4,3)$

这种分析特殊位置和特殊元素的方法是最简单和常见的方法.    

2.不可分割的元素捆绑

例：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解法：

甲乙看成一个元素，丙丁看成一个元素

所以答案就是$A(5,5)*A(2,2)*A(2,2)$;

3.插空(板)法

例：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解法：

先把相声和独唱排好,有A(5,5)种选法.

然后考虑把舞蹈插在这已经排好的5个节目之间,算上头尾一共有6个空位,所以方法就是$A(6,4)$

最后答案就是$A(5,5)*A(6,4)$

这种方法非常经典也很常用.

4.倍缩法

例:7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法

解法：

不考虑3人顺序有$A(7,7)$种方法.

三人之间的站法有$A(3,3)$种.

这其中只有一种符合题意,所以方案数就是$A(7,7)/A(3,3)$

5.容斥

这个要说起来东西就很多了，不过最基本的思想就是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复

例:我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

解法：

先不考虑限制,取法有$C(43,5)$种.

考虑所有不满足限制的取法有$C(40,5)$种.

所以答案就是$C(43,5)-C(40,5)$;

一些组合计数的公式

错位排列

n个不同元素排成一排，求有$1-m$ $(m\le n)$不排在相应位置的排列种数

解法：

容斥原理:

$A(n,n)-C(m,1)*A(n-1,n-1)+C(m,2)*A(n-2,n-2)+...+(-1)^m*C(m,m)*A(n-m,n-m)$

当$n=m$时也可以使用全错排的递推公式:

$f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])$

卡特兰数

递推式:
$h[n]=h[n-1]*(4*n-2)/(n+1)$

通项公式:
$h[n]=C(2n,n)/(n+1)$

关于卡特兰数的一些具体意义可以看学姐Coco_T的博客

可重复组合

$n$个不同的球中取$m$个球.每次取出一个之后放回,两种方案不同当且仅当存在1种球的数量不同.求方案数.
解法:

设n种球分别取了$x1,x2,x3...xn$;

显然$x1+x2+x3+...+xn=m$;

方程左右都加$n$

$x1+1+x2+1+x3+1...+xn+1=n+m$

问题变成了$n+m$个相同元素,分成$n$份,每份不能为空,求方案数

插板法的经典应用,考虑在$n+m-1$个空位中插入$n-1$个分割点

方案数即为$C(n+m-1,n-1)$

圆排列

从$n$个不同元素中不重复地取出$m$($1\le m\le n$)个元素在一个圆周上，叫做这$n$个不同元素的$m-$圆排列。

如果一个$m-$圆排列旋转可以得到另一个$m-$圆排列，则认为这两个圆排列相同,求方案数。

解法:

先看成直线排列.方案数就是$A(n,m)$

因为是圆形,所以谁在前面都一样

最后方案就是$A(n,m)/m$

 

可能以后还会有第二类斯特林数和一些组合数学的题目

转载于:https://www.cnblogs.com/Slrslr/p/9826543.html