BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和莫比乌斯反演

weixin_30877181

于 2019-06-28 14:30:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/guangheli/p/11102507.html

本文深入探讨了关于求解特定数学问题的算法优化方法，利用数论中的结论简化复杂度，通过整除分块和预处理前缀和来提高效率。具体地，文章给出了一种求解给定范围内所有数的约数个数之和的方法，该方法利用了莫比乌斯函数和整除性质，展示了如何将原始问题转换为更易于计算的形式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

题解：

有一个小结论：

$d(ij)=\sum_{i|n}\sum_{j|n}[gcd(i,j)==1]$

原式 $= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)$

$\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]$

$\Rightarrow\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}[gcd(x,y)==1]\sum_{x|i}\sum_{y|j}$

$\Rightarrow\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}\left \lfloor \frac{n}{x}\right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor[gcd(x,y)==1]$

$\Rightarrow\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}\left \lfloor \frac{n}{x}\right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor\sum_{d|x,d|y}\mu(d)$

$\Rightarrow\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{d|x}\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor\sum_{d|y}\left \lfloor \frac{m}{y} \right \rfloor$

$\Rightarrow\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{x=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{n}{xd} \right \rfloor\sum_{y=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{m}{yd} \right \rfloor$

剩下的交给整除分块计算就好了.

最好提前预处理出来所有的前缀和.

#include<bits/stdc++.h>
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define ll long long 
#define maxn 100000 
#define M 50002 
using namespace std;
int cnt; 
bool vis[maxn]; 
int prime[maxn], mu[maxn]; 
ll sumv[maxn],Ge[maxn]; 
ll Sum(int n)
{
	int i,j; 
	ll re=0; 
	for(i=1;i<=n;i=j+1)
	{ 
		j=n/(n/i);       
		re+=(j-i+1)*(n/i); 
	}
	return re;   
}
void linear_shaker()
{
	int i,j; 
	mu[1]=1; 
	for(i=2;i<=M;++i) 
	{
		if(!vis[i]) prime[++cnt]=i, mu[i]=-1; 
		for(j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=M;++j)
		{
			vis[i*prime[j]]=1; 
			if(i%prime[j]==0) 
			{
				mu[i*prime[j]]=0; 
				break; 
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i]; 
		}
	}
	for(i=1;i<=M;++i) sumv[i]=sumv[i-1]+mu[i];  
	for(i=1;i<=M;++i) 
	{
		Ge[i]=Sum(i); 
	}
}
int main()
{
// 	setIO("input"); 
	linear_shaker();
	int T,n,m,i,j; 
	ll re; 
	scanf("%d",&T); 
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m); 
		if(n>m) swap(n,m); 
		re=0; 
		for(i=1;i<=n;i=j+1)
		{
			j=min(n/(n/i), m/(m/i)); 
			re+=(sumv[j]-sumv[i-1])*Ge[n/i]*Ge[m/i]; 
		}
		printf("%lld\n",re); 
	} 
	return 0; 
}

转载于:https://www.cnblogs.com/guangheli/p/11102507.html