集合的异或运算（对称差）

最新推荐文章于 2025-05-22 09:48:48 发布
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本文介绍了集合的对称差（异或）运算，包括定义、基本定律及其交换律的证明，并探讨了在计算机中异或运算的应用，如数据加密和全集子集的相关性质证明。

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1、集合的异或运算(AΔB)定义
属于A或属于B，但不同时属于A和B的元素的集合称为A和B的对称差，即A和B的异或。

image

注：草绿色部分即为 AΔB

2、对称差(异或)运算的定律
2.1 AΔB = (A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B)
该公式的证明已在 集合的证明及相关习题 中证明了

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2.2 对称差运算的交换律
(AΔB)ΔC = (AΔC)ΔB

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集合异或
欢迎您的光顾awa
12-01 1641
ybtoj 20036，集合异或，bitset 数据结构题
异或dp--51nod1301 集合异或和
继续学吧
09-07 845
传送门 solution： 一道比较难想的dp吧，看了题解才知道题目的突破口就是这个性质： A<B当且仅当A^B的最高位是1的那一位上B为1而A为0   有了这个性质就可以考虑异或dp 设f[i][j][0/1]表示当前处理到第i个数，A^B=j，B的第x位为0/1（x就是上面所说的最高位）的方案数 然后最外层枚举x，内层算出当前f数组，将j为2^x~2^(x+1)的f[max...
堆排序（Heap Sort）
最新发布
小瑾的博客
05-22 424
堆是一种完全二叉树，分为最大堆和最小堆。最大堆中每个节点的值大于或等于其子节点，最小堆则相反。堆通常用数组实现，父子节点的索引关系可通过公式计算。堆排序的步骤包括构建初始堆和排序过程。构建初始堆时，从最后一个非叶子节点开始，向前遍历并执行堆化操作，确保子树满足堆的性质。排序过程中，交换堆顶与末尾元素，缩小堆范围并重新堆化，直到堆中只剩一个元素。堆排序的时间复杂度为O(n log n)，空间复杂度为O(1)，是一种不稳定的排序算法。
异或运算
昨日明眸
05-16 583
异或运算 已知一个包含 $n$ 个元素的正整数集合 $S$，设 $f(S)$ 为集合 $S$ 中所有元素的异或(XOR)的结果。 如：$S = \{1, 2, 3\}$, 则 $f(S) = 0$。 给出集合 $S$，你需要计算 将所有 $f(s)$ 进行异或后的值, 这里 $s \subseteq S$. 输入描述 多组测试数据。第一行包含一个整数 $T(T\leq 20)$ 表示
[51nod1301]集合异或和
不来也不去的一只失忆蝴蝶
12-06 2143
题目描述已知两个整数N与M,你需要构造两个整数集合X与Y，且需要满足以下要求： （1）对所有的xi∈X，满足1<=xi<=N;对所有的yj∈Y，满足1<=yj<=M; （X与Y可以为空集） （2）X∩Y=Φ;（但不要求集合X与Y的元素个数，只要两者没有交集即可）不妨设构造后的集合X含有n个元素，而集合Y有m个元素，令 A=x1 xor x2 xor x3 xor … xor xn， B=y1
【异或】小P的集合
Z_sea的博客
02-21 523
题目链接 小P最近对集合非常感兴趣，他看到了这样一个问题: 在集合中找出 (k≤2)个出现了奇数次的正整数 a。 保证所有数据正好有 k个数出现了奇数次。 但是小P的电脑性能非常差，可用内存非常少，只有4MB，所以他想请你帮他写一个程序解决这个问题！ 题解: 【小结】： 比赛的时候的确是没有想到，但是我就差一步了。。。就差一步，我已经知道k=1的时候是异或，k=2的时候异或和，至少有...
异或与对称差.pdf
03-29
其次，对称差和异或运算都满足以下关系：aΔ(aΔb)=b，a⊕(a⊕b)=b。这意味着如果已知a和b的对称差或异或结果，可以轻易地找到原始的元素。同理，如果 a△b=c 或 a⊕b=c，那么 a、b 和 c 之间存在一种特殊的平衡，...
异或与对称差.docx
03-29
这种几何解释虽然不是直接关于异或运算的，但它提供了一个有趣的思维实验，展示了抽象概念在不同领域的潜在应用。 对称差是集合论中的一个概念，它表示两个集合的元素中，属于其中一个但不属于另一个的所有元素的...
你知道异或运算吗？
Lrc123
03-20 1758
什么是异或运算？ 异或，英文为exclusive OR，缩写成xor 异或（xor）是一个数学运算符。它应用于逻辑运算。异或的数学符号为“⊕”，计算机符号为“xor”。其运算法则为： a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b) 如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。 z = x ⊕ y z = x xor y 以上两个式子是等价的 – 引用自百度百科...
交集、并集、差集、对称差运算（集合类） C++实现
06-27 6559
给爷，爬到爷的收藏夹里面去吃灰去
两个集合的并、交，相对补，对称差的运算
weixin_40562633的博客
01-04 6974
/*编写程序实现两个集合的并、交，相对补，对称差的运算并判断两个集合是否相等? （2）功能要求 ①输入集合A与集合B的元素。 ②输出集合A与B的并、交、相对补、差、对称差运算。 ③输出集合A与B是否相等的断定结果。 ④输出集合A与B的幂集。*/ #include "stdio.h" int disc; void xd(int a[],int b[],int n,int m) {
[DP] 51Nod 1301 集合异或和
Vectorxj的博客
02-25 380
SolutionSolutionSolution 感觉是挺有趣的一道题qwq 枚举AAA和BBB从高到底第一个不同的位kkk。 A&lt;BA&lt;BA\lt B可以转化成A&nbsp;xor&nbsp;B∈[2k,2k+1]A&nbsp;xor&nbsp;B∈[2k,2k+1]A~xor~B\in[2^k, 2^{k+1}]，且B&nbsp;or&nbsp;2k=BB&nbsp;or&n...
异或与对称差
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06-29 4663
刚刚上计算机组成原理课的时候，或许会觉得汉明码的横空出世太神奇了，它是怎么知道二进制信息在传输过程中哪一位传错的呢？开始只是死记，后来发现太难记住了，于是想一探究竟，究竟是什么支配着这种编码纠错的可靠性。 首先我们要知道的是，汉明码是只具有一位纠错能力的编码，那么二进制信息的传输校验可以在最多只有一位发生误传这个假设下讨论。 这个问题的一个数学模型是：发送方将一串任意长度的01代码通过一定的处
1 异或，两个集合中异或位数最小的
weixin_44030848的博客
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For 2 non-negative integers x and y, f(x, y) is defined as the number of different bits in the binary format of x and y. For example, f(2, 3)=1,f(0, 3)=2, f(5, 10)=4. Now given 2 sets of non-negative...
51nod 1301 集合异或和 动态规划
beginend
11-01 675
题意已知两个整数N与M,你需要构造两个整数集合X与Y，且需要满足以下要求： （1）对所有的xi∈X，满足1<=xi<=N;对所有的yj∈Y，满足1<=yj<=M; （X与Y可以为空集） （2）X∩Y=Φ;（但不要求集合X与Y的元素个数，只要两者没有交集即可）不妨设构造后的集合X含有n个元素，而集合Y有m个元素，令 A=x1 xor x2 xor x3 xor … xor xn， B=y1 xo
异或
studyvcmfc的专栏
02-17 821
异或 编辑同义词 异或运算一般指异或异或，英文为exclusive OR，缩写成xor异或（xor）是一个数学运算符。它应用于逻辑运算。异或的数学符号为“⊕”，计算机符号为“xor”。其运算法则为：a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b)如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。异或也叫半加运算，其运算法则相当于不带进位的二进制加法：二进制下用1表示真，0...
异或运算的性质
03-13
### 异或运算的数学性质 异或（XOR），作为逻辑运算的一部分，在二元逻辑操作中具有独特的属性。对于任意两个输入A和B，当两者不同时返回真（1），相同则返回假（0）。具体来说： - \( A \oplus 1 = A'\)，表示任何值与1做异或等于该值取反； - \( A \oplus 0 = A\)，意味着任何数值同0作异或保持不变； - \( A \oplus A = 0\)，表明相同的两数异或结果为零； - \( A \oplus A' = 1\)，说明一数与其补码异或得1。 这种特殊的性质使得异或成为一种强大的工具用于检测差异性和执行位级操作[^2]。 ### 编程中的应用实例 #### 数据加密解密 利用\( P \oplus K = C \) 和 \( C \oplus K = P \)，其中P代表明文、K是秘钥而C则是密文。通过简单的两次异或变换即可完成加解密过程而不需额外存储空间来保存中间状态。 ```csharp public static string EncryptDecrypt(string input, byte[] key) { var bytes = System.Text.Encoding.UTF8.GetBytes(input); for (int i = 0; i < bytes.Length; ++i) bytes[i] ^= key[i % key.Length]; return Convert.ToBase64String(bytes); // 返回编码后的字符串形式 } ``` #### 交换变量值无需临时变量 借助于上述提到过的自反律(\(a=a\oplus b\oplus a=b)\),可以在没有第三方辅助的情况下轻松互换两个整型变量的内容: ```csharp static void Swap(ref int x, ref int y) { if(x != y){ x ^= y; y ^= x; x ^= y; } } ``` #### 错误检测机制 由于异或具备良好的抗干扰能力以及唯一性特征——即不同元素间相互作用产生的特定模式难以被其他组合复制出来，因此非常适合用来构建校验码或者奇偶检验等功能模块。 #### 对称差集计算 在集合论里，给定两个有限集合S,T，则它们之间的对称差定义为属于其中一个而非另一个成员组成的子集\[ S△T=(S-T)\cup(T-S)=\{e:e∈S∨e∈T∧¬(e∈S∧e∈T)\}\].此概念同样适用于数组或列表对象间的比较场景下找出独有的项目[^3].
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