斜率优化

很久之前一直觉得斜优很难理解，，，今天再看发现好像是挺好理解的。

不过如果x不单调就要用splay或者cdq维护了，，，，依旧很恶心。、

先讲最基础的斜优吧，不单调的以后再填坑。

先来看一道例题：CF311B Cats Transport 斜率优化DP

当我们得到DP方程$f[i][j] = f[i - 1][k] + (j - k) t_{j} - (s[j] - s[k])$之后，我们对式子进行转化，

将只跟k相关的放在式子左边，把剩余部分放在式子右边，同时在式子右边把只跟k相关的放在一起，把既跟j有关又跟k有关放在一起。

$$f[i][j] = f[i - 1][k] + (j - k) t_{j} - (s[j] - s[k])$$
$$\Rightarrow f[i][j] = f[i - 1][k] + jt_{j} - kt_{j} - s[j] + s[k]$$
$$\Rightarrow -s[k] - f[i - 1][k] = -kt_{j} + jt_{j} - s[j] - f[i][j]$$
$$\Rightarrow s[k] + f[i - 1][k] = t_{j}k - jt_{j} + s[j] + f[i][j]$$

我们可以假设$y = s[k] + f[i - 1][k], x = k, K = t_{j}, b = -jt_{j} + s[j] + f[i][j]$。

那么这就是一个$y = kx+b$的形式的式子。

我们可以把所有的决策点都看作一个二维平面上的点(x, y),因为我们只需要有(x, y)就可以知道这个点对当前决策的所有贡献。

而跟当前状态有关的只有k和b。观察到我们要求f[i][j]最小，就是要求b最小（因为b的其他部分是固定的）。

而k是固定的，于是我们可以看做一个二维平面上有很多点，我们要用一根斜率为k的直线覆盖某个点，使得b最小。

显然这个使得b最小的点会出现在所有点的下凸包上，于是我们考虑维护一个下凸包，然后每次在这个凸包上寻找最优决策点。

相当于用一条斜率为K的直线靠近这个凸包，第一个碰到的点就是最优决策点。

因为K是递增的，所以在下凸包上第一个被碰到的点是单调递增的，又因为x递增,所以可以直接用单调队列维护。

感觉讲得有点乱，，，NOIP之后再来完善吧

emmm。。。好像咕了，，，不想写了，，，懒得画图

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