[bzoj2179]FFT快速傅立叶_FFT

最新推荐文章于 2025-09-03 15:02:02 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ShuraK/p/10011625.html

本文深入解析了FFT（快速傅立叶变换）算法的基本原理及其在多项式乘法优化中的应用，通过具体实例展示了如何使用FFT进行大整数乘法的计算，包括算法模板和代码实现。

FFT快速傅立叶 bzoj-2179

题目大意：给出两个n位10进制整数x和y，你需要计算x*y。

注释：$1\le n\le 6\times 10^4$。

想法：

$FFT$入门题。

$FFT$实现的就是多项式乘法，进而我们可以通过它优化卷积。

但是有一点：$FFT$优化的卷积是所有的都求出来而不能单独优化一次。

比如说：$c_i=\sum_{j=0}^i a_j\times b_{i-j}$。

$FFT$可以在$O(nlogn)$的时间内求出所有的$c$，但是不能只求一个。

附上$FFT$的模板：

typedef double db;
const db pi=acos(-1);
struct cp
{
	db x,y;
	cp() {x=y=0;}
	cp(db x_,db y_) {x=x_,y=y_;}
	cp operator + (const cp &a) const {return cp(x+a.x,y+a.y);}
	cp operator - (const cp &a) const {return cp(x-a.x,y-a.y);}
	cp operator * (const cp &a) const {return cp(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);}
};
void fft(cp *a,int len,int flg)
{
	int i,j,k,t;
	cp w,wn,tmp;
	for(i=k=0;i<len;i++)
	{
		if(i>k) swap(a[i],a[k]);
		for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
	}
	for(k=2;k<=len;k<<=1)
	{
		t=k>>1;
		wn=cp(cos(2*pi*flg/k),sin(2*pi*flg/k));
		for(i=0;i<len;i+=k)
		{
			w=cp(1,0);
			for(j=i;j<i+t;j++)
			{
				tmp=a[j+t]*w;
				a[j+t]=a[j]-tmp;
				a[j]=a[j]+tmp;
				w=w*wn;
			}
		}
	}
	if(flg==-1) for(i=0;i<len;i++) a[i].x/=len;
}

而这个题就是将每一位看成多项式的系数，然后用$FFT$算多项式乘法即可，注意进位。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 60010 
using namespace std; 
typedef double db;
char s1[N<<1],s2[N<<1];
int ans[N<<2];
const db pi=acos(-1);
struct cp
{
	db x,y;
	cp() {x=y=0;}
	cp(db x_,db y_) {x=x_,y=y_;}
	cp operator + (const cp &a) const {return cp(x+a.x,y+a.y);}
	cp operator - (const cp &a) const {return cp(x-a.x,y-a.y);}
	cp operator * (const cp &a) const {return cp(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);}
}a[N<<2],b[N<<2];
void fft(cp *a,int len,int flg)
{
	int i,j,k,t;
	cp tmp,w,wn;
	for(i=k=0;i<len;i++)
	{
		if(i>k) swap(a[i],a[k]);
		for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
	}
	for(k=2;k<=len;k<<=1)
	{
		wn=cp(cos(2*pi*flg/k),sin(2*pi*flg/k));
		t=k>>1;
		for(i=0;i<len;i+=k)
		{
			w=cp(1,0);
			for(j=i;j<i+t;j++)
			{
				tmp=a[j+t]*w;
				a[j+t]=a[j]-tmp;
				a[j]=a[j]+tmp;
				w=w*wn;
			}
		}
	}
	if(flg==-1) for(i=0;i<len;i++) a[i].x/=len;
}
int main()
{
	int n; cin >> n ; int len=1;
	while(len<=(n<<1)) len<<=1;
	scanf("%s%s",s1,s2);
	for(int i=0;i<n;i++) a[i].x=s1[n-i-1]-'0',b[i].x=s2[n-i-1]-'0';
	fft(a,len,1); fft(b,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*b[i];
	fft(a,len,-1);
	for(int i=0;i<len;i++)ans[i]=a[i].x+0.5;
	for(int i=0;i<len;i++) ans[i+1]+=ans[i]/10,ans[i]%=10;
	while(!ans[len]&&len) len--;
	for(int i=len;~i;i--) printf("%1d",ans[i]); puts("");
	return 0;
}

小结：$FFT$贼好玩....

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