UVA 11426 GCD - Extreme (II)

最新推荐文章于 2023-01-26 22:23:01 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/alan-W/p/6435340.html

本文介绍了一种通过建立递推关系和利用欧拉函数优化程序的方法，详细解释了如何计算两个数的最大公约数之和，并给出了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：优化以下程序

G=0;
for(i=1;i<N;i++)
for(j=i+1;j<=N;j++)
{
G+=gcd(i,j);
}

return G

题目思路：

1.建立递推关系，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);

2.设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。

gcd(x,n)=i是n的约数（x<n），按照这个约数进行分类。设满足gcd（x,n）=i的约束有g(n,i)个，则有f(n)=sum(i*g(n,i))。

而gcd(x,n)=i等价于gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等价于phi(n/i).phi(x)为欧拉函数。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXSIZE 4000005
#define LL long lo

using namespace std;

int vis[MAXSIZE];
LL phi[MAXSIZE];
LL f[MAXSIZE];

void GetPrime() //欧拉函数打表 
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXSIZE;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            for(int j=i;j<MAXSIZE;j+=i)
            {
                if(!phi[j])
                    phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
                vis[j]=1;
            }
        }
    }
}


int main()
{
    GetPrime();
    int n;
    LL ans,sum;
    memset(f,0,sizeof(f));
    /*for(int i=1;i<=10;i++)
        printf("%lld\n",phi[i]);
    */
    for(int i=1;i<MAXSIZE;i++)
    {
        for(int j=i*2;j<MAXSIZE;j+=i)
        {
            f[j]+=i*phi[j/i];
        }
    }
    /*for(int i=1;i<=10;i++)
        printf("%lld\n",f[i]);
    */
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ans+=f[i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}