UVA 10313 Pay the Price-优快云博客

本文详细解析了UVA_10313题目的解题思路，利用Ferrers图像特性证明了用不超过j个硬币凑出面值i的方案种数等于用面值不超过j的硬币凑出面值i的方案种数，并给出了基于动态规划的状态转移方程。

UVA_10313

看了RoBa的题解之后，终于顿悟了。

这个题目涉及到一个结论，用不超过j个硬币凑出面值i的方案种数，是和用面值不超过j的硬币凑出面值i的方案种数是相同的。说得再数学一点，就是整数i拆分成不超过j个整数的拆分数，是和整数i拆成若干个值不超过j的整数的拆分数是相同的。具体的证明用到了Ferrers图像的性质。

这样的话我们就可以取一个二维数组f[i][j]表示用面值不超过j的硬币凑出面值i的方案的种数，那么如果我使用了面值j，对应方案种数就应该加上f[i-j][j]，如果我们不使用面值j，那么对应的方案种数就应该加上f[i][j-1]。也就是说状态转移方程为f[i][j]= f[i-j][j]+ f[i][j-1]。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 310
char b[100];
int N, L1, L2;
long long int f[MAXN][MAXN];
void prepare()
{
int i, j;
    N = 300;
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0][0] = 1;
for(i = 0; i <= N; i ++)
for(j = 1; j <= N; j ++)
        {
if(i - j >= 0)
                f[i][j] += f[i - j][j];
if(j - 1 >= 0)
                f[i][j] += f[i][j - 1];
        }
}
void solve()
{
int i, j;
    L1 = L2 = -1;
    sscanf(b, "%d%d%d", &N, &L1, &L2);
    L1 = L1 > 300 ? 300 : L1;
    L2 = L2 > 300 ? 300 : L2;
if(L1 == -1)
        printf("%lld\n", f[N][N]);
else
    {
if(L2 == -1)
            printf("%lld\n", f[N][L1]);
else
        {
if(L1 == 0)
                printf("%lld\n", f[N][L2]);
else
                printf("%lld\n", f[N][L2] - f[N][L1 - 1]);
        }
    }
}
int main()
{
    prepare();
while(gets(b) != NULL)
    {
        solve();
    }
}