本文深入探讨了Link-Cut Tree（LCT）的数据结构，这是一种基于Splay Tree的在线数据结构，支持连边、断边、换根、路径修改和查询等操作。文章详细解释了LCT的基本概念、核心函数如rotate、splay、access、make_root、get_root、link、cut、lift等的实现原理，并提供了一段模板代码示例。
题意
给定一棵 \(n\) 个节点的树，每个点有点权。完成 \(m\) 个操作，操作四两种，连接 \((x,y)\) ；提 \(x\) 为根，并断 \(y\) 与它的父节点；增加路径 \((x,y)\) 的节点一个 \(w\) 的点权；求路径 \((x,y)\) 的最大点权。
思路
基本概念介绍
\(\text{Link-Cut-Tree}\) 是一棵支持修改的树，以 \(\text{Splay}\) 为基础，均摊复杂度 \(O(n\log n)\) 的在线数据结构，支持的基础操作如下：
连边
- 断边
- 换根
- 路径修改
路径查询
无根树中，换根是用来进行路径操作的，而有根树并不能进行路径操作（因为需要改变根）
本题维护一棵无根树，使用以上功能即可。
如果用的够熟练，还有以下拓展功能：
- 有根树/基环树的处理
- 维护边权
- 维护最小生成树
- 维护子树信息
\(\text{LCT}\) 的结构是若干棵 \(\text{splay}\) ，每一棵 \(\text{splay}\) 维护的是原树上的某一条链（从顶到下）的一个序列，特殊的，某一棵 \(\text{splay}\) 根的父亲是它维护的实链在原树上对应的父亲，然而这个父亲并没有这个子节点（即认父不认子）。
基本函数
rotate
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
if(!isroot(y))ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
push_up(y),push_up(x);
}其中 \(\text{isroot}\) 函数如下：
bool isroot(int x){return x!=ch[fa[x]][0]&&x!=ch[fa[x]][1];}功能是判断这个点是不是 \(\text{splay}\) 的根。
在 \(\text{splay}\) 里，上面的这些判断都可以略去，但是在 \(\text{LCT}\) 里不能略去。因为在 \(\text{LCT}\) 中，旋转是要在同一个 \(\text{splay}\) 中的，不能翻过头；而且零号节点有儿子可能会对 \(\text{isroot}\) 的判断有影响。
splay
void splay(int x)
{
stk[tp=1]=x;
for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])stk[++tp]=fa[y];
while(tp)push_down(stk[tp]),tp--;
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(!isroot(y))(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
rotate(x);
}
}有两点不同，首先这里的 \(\text{splay}\) 函数只需要上旋至根，所以不用再传参数；然后是这个函数一般从底向上，即没有提前先找到要提到根的节点 \(x\) ，故需要提前 \(\text{down}\) 完一路上的节点。
access
\(\text{access}(x)\) 的作用是将从 \(x\) 节点到原树的根这条路径放在同一个 \(\text{splay}\) 中，即打通 \(x\) 到根的路径。
void access(int x)
{
for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
splay(x),ch[x][1]=y,push_up(x);
}make_root
\(\text{make_root}(x)\) 用来将 \(x\) 提到根，它和上面的 \(\text{access}\) 都是 \(\text{LCT}\) 比较核心的部分，它的组成异常的简短。
void make_root(int x)
{
access(x),splay(x),reved(x);
}\(\text{reved}\) 函数如下，表示旋转。
void reved(int x)
{
rev[x]^=1;
std::swap(ch[x][0],ch[x][1]);
}将 \(x\) 与根放入同一个 \(\text{splay}\) 中，然后将 \(x\) 提到 \(\text{splay}\) 的根，由于然后对这个 \(\text{splay}\) 维护的序列进行翻转，不难发现，这样的旋转并不会使树的结构混乱，而恰好能将 \(x\) 作为根。
get_root
得到节点 \(x\) 的根，并将根也翻至 \(\text{splay}\) 的根。
int get_root(int x)
{
access(x),splay(x);
while(ch[x][0])push_down(x),x=ch[x][0];
splay(x);
return x;
}link
\(\text{link}(x,y)\) 表示从 \(x\) 向 \(y\) 连一条边，如果 \(x,y\) 已经连通，则返回 \(\text{false}\) 。
bool link(int x,int y)
{
make_root(x);
if(get_root(y)==x)return false;
fa[x]=y;
return true;
}cut
\(\text{cut}(x,y)\) 表示断开边 \((x,y)\)，如果 \(x,y\) 没有连边，则返回 \(\text{false}\) 。
bool cut(int x,int y)
{
make_root(x);
if(get_root(y)!=x||ch[x][1]!=y||ch[y][0])return false; //画图观察，三个条件缺一不可
ch[x][1]=fa[y]=0;
push_up(x);
return true;
}lift(split)
个人习惯把它叫作 \(\text{lift}\) ，其中 \(\text{lift}(x,y)\) 表示将路径 \((x,y)\) 实化，提起，以 \(x\) 作为根，如果 \((x,y)\) 不连通，则返回 \(\text{false}\)。
bool lift(int x,int y)
{
make_root(x),access(y);
return get_root(y)==x;
}这是路径操作之前的一句话，完成后可以在 \(x\) 节点上打标记修改，\(x\) 节点也维护了路径的信息。
这个东西实在是个大坑，难以一文讲通，这里给出这道模板题的代码。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int N=3e5+5;
struct LinkCutTree
{
int ch[N][2],fa[N];bool rev[N];
int pw[N],Mx[N],tag[N];
int stk[N],tp;
void init(){create(0,0);}
void create(int x,int val)
{
ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=rev[x]=0;
tag[x]=0;pw[x]=Mx[x]=val;
}
bool isroot(int x){return x!=ch[fa[x]][0]&&x!=ch[fa[x]][1];}
void reved(int x)
{
rev[x]^=1;
std::swap(ch[x][0],ch[x][1]);
}
void taged(int x,int val)
{
tag[x]+=val;
pw[x]+=val;
Mx[x]+=val;
}
void push_up(int x)
{
Mx[x]=std::max(std::max(Mx[ch[x][0]],Mx[ch[x][1]]),pw[x]);
}
void push_down(int x)
{
if(rev[x])
{
if(ch[x][0])reved(ch[x][0]);
if(ch[x][1])reved(ch[x][1]);
rev[x]=0;
}
if(tag[x])
{
if(ch[x][0])taged(ch[x][0],tag[x]);
if(ch[x][1])taged(ch[x][1],tag[x]);
tag[x]=0;
}
}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
if(!isroot(y))ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
push_up(y),push_up(x);
}
void splay(int x)
{
stk[tp=1]=x;
for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])stk[++tp]=fa[y];
while(tp)push_down(stk[tp]),tp--;
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(!isroot(y))(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
rotate(x);
}
}
void access(int x)
{
for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
splay(x),ch[x][1]=y,push_up(x);
}
void make_root(int x)
{
access(x),splay(x),reved(x);
}
int get_root(int x)
{
access(x),splay(x);
while(ch[x][0])push_down(x),x=ch[x][0];
splay(x);
return x;
}
int get_fa(int x)
{
access(x),splay(x);
if(!ch[x][0])return -1;
push_down(x);
x=ch[x][0];
while(ch[x][1])push_down(x),x=ch[x][1];
splay(x);
return x;
}
bool link(int x,int y)
{
make_root(x);
if(get_root(y)==x)return false;
fa[x]=y;
return true;
}
bool cut(int x,int y)
{
make_root(x);
if(get_root(y)!=x||ch[x][1]!=y||ch[y][0])return false;
ch[x][1]=fa[y]=0;
push_up(x);
return true;
}
bool lift(int x,int y)
{
make_root(x),access(y);
return get_root(y)==x;
}
void update(int x,int y,int val)
{
lift(x,y);
taged(x,val);
}
int query(int x,int y)
{
lift(x,y);
return Mx[x];
}
}LCT;
int n,m;
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
LCT.init();
FOR(i,1,n)LCT.create(i,0);
FOR(i,1,n-1)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
LCT.link(u,v);
}
FOR(i,1,n)
{
int x;
scanf("%d",&x);
LCT.update(i,i,x);
}
scanf("%d",&m);
while(m--)
{
int op,x,y,z;
scanf("%d",&op);
if(op==1)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
if(!LCT.link(x,y))puts("-1");
}
else if(op==2)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
if(x==y||!LCT.lift(x,y))puts("-1");
else
{
LCT.make_root(x);
LCT.cut(y,LCT.get_fa(y));
}
}
else if(op==3)
{
scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
if(!LCT.lift(x,y))puts("-1");
else LCT.update(x,y,z);
}
else if(op==4)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
if(!LCT.lift(x,y))puts("-1");
else printf("%d\n",LCT.query(x,y));
}
}
puts("");
}
return 0;
}
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