Bzoj 3688 折线统计（dp+树状数组）

最新推荐文章于 2024-09-10 13:35:38 发布

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文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/harryhqg/p/10446200.html

本文探讨了一种基于数据结构优化的动态规划(dp)问题解决方法，通过树状数组优化状态转移过程，实现O(n k log n)的时间复杂度。文章详细介绍了如何利用树状数组进行状态转移，包括构建树状数组、查询和更新操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

开始以为同样斜率的折线算一条，后来经过大佬提示发现是假的，那就很简单了

这是一道比较基础的数据结构优化 \(dp\) 的问题

首先按照 \(x\) 坐标排序

首先能够想出 \(dp\) 状态

\(dp[i][j][0/1]\) 表示前 \(i\) 个数，选了 \(j\) 段，当前折线是上升/下降的

脑补可得转移方程：

\[ f[i][j][0]=\sum\limits_{k=1}^{i-1}f[k][j][0]+f[k][j-1][1] (if~y_k>y_i)\\ f[i][j][1]=\sum\limits_{k=1}^{i-1}f[k][j][1]+f[k][j-1][0] (if~y_k<y_i) \]

上述方程 \(i\) 这一维每一次只和前面的元素有关，那么就可以通过数据结构优化转移

由于有 \(y\) 的限制，不能使用前缀和，那么考虑树状数组

建出 \(2*k\) 棵树状数组记录 \(f\) 数组的值，转移即可

前面那个直接查询，后面那个前缀和一下就行

时间复杂度 \(O(n~k~log~n)\)

#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <string>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <climits>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std ;
#define int long long
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define loop(s, v, it) for (s::iterator it = v.begin(); it != v.end(); it++)
#define cont(i, x) for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
#define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define ass(a, sum) memset(a, sum, sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & -x)
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define ub upper_bound
#define lb lower_bound
#define pq priority_queue
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define iv inline void
#define enter cout << endl
#define siz(x) ((int)x.size())
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin),freopen(#x".out", "w", stdout)
typedef long long ll ;
typedef unsigned long long ull ;
typedef pair <int, int> pii ;
typedef vector <int> vi ;
typedef vector <pii> vii ;
typedef queue <int> qi ;
typedef queue <pii> qii ;
typedef set <int> si ;
typedef map <int, int> mii ;
typedef map <string, int> msi ;
const int N = 100010 ;
const int INF = 0x3f3f3f3f ;
const int iinf = 1 << 30 ;
const ll linf = 2e18 ;
const int MOD = 100007 ;
const double eps = 1e-7 ;
void print(int x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void PRINT(string x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void douout(double x){ printf("%lf\n", x + 0.0000000001) ; }

int n, k, mx, ans ;
pii a[N] ;
int f[N][12][2], g[12][2][N] ;

void add(int bit[N], int x, int y) {
    for (; x <= mx; x += lowbit(x)) bit[x] = (bit[x] + y) % MOD ;
}

int ask(int bit[N], int x) {
    if (!x) return 0 ;
    int ans = 0 ;
    for (; x; x -= lowbit(x)) ans = (ans + bit[x]) % MOD ;
    return ans ;
}

signed main(){
    scanf("%lld%lld", &n, &k) ;
    rep(i, 1, n) {
        scanf("%lld%lld", &a[i].fi, &a[i].se) ;
        mx = max(mx, a[i].se) ;
    }
    sort(a + 1, a + n + 1) ;
    rep(i, 1, n) {
        f[i][0][0] = f[i][0][1] = 1 ;
        int v = a[i].se ;
        add(g[0][0], v, 1) ;
        add(g[0][1], v, 1) ;
        rep(j, 1, k) {
            f[i][j][0] += ask(g[j][0], v - 1) + ask(g[j - 1][1], v - 1) ;
            f[i][j][1] += ask(g[j][1], mx) - ask(g[j][1], v) // 类似前缀和的原理
            + ask(g[j - 1][0], mx) - ask(g[j - 1][0], v) + MOD ;
            f[i][j][0] %= MOD ; f[i][j][1] %= MOD ;
            add(g[j][0], v, f[i][j][0]) ;
            add(g[j][1], v, f[i][j][1]) ;
        }
        ans = (ans + f[i][k][0] + f[i][k][1]) % MOD ;
    }
    printf("%lld\n", ans) ;


    return 0 ;
}

/*
写代码时请注意：
    1.ll？数组大小，边界？数据范围？
    2.精度？
    3.特判？
    4.至少做一些
思考提醒：
    1.最大值最小->二分？
    2.可以贪心么？不行dp可以么
    3.可以优化么
    4.维护区间用什么数据结构？
    5.统计方案是用dp？模了么？
    6.逆向思维？
*/

转载于:https://www.cnblogs.com/harryhqg/p/10446200.html