URAL 1141. RSA Attack（欧拉定理+扩展欧几里得+快速幂模）

最新推荐文章于 2022-04-27 21:29:27 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/luyingfeng/p/4077184.html

本文详细介绍了解决一个特定RSA算法问题的方法。通过分析给定的参数n、e、c，利用扩展欧几里得算法求模反元素d，再通过快速幂模运算求解密文m。文中还提供了完整的代码实现。

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题目链接

题意：给你n，e，c，并且知道m^e ≡ c (mod n)，而且n = p*q，pq都为素数。

思路：这道题的确与题目名字很相符，是个RSA算法，目前地球上最重要的加密算法。RSA算法原理。

看到这个算法之后，就知道这个题是求c^d≡m(mod n),要求m，就要先求d，而d则是e的模反元素。

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时，b就叫做a的模反元素。

由模反元素可知，ed≡1（mod Phi[n]）（phi[n]代表n的欧拉函数）。

根据欧拉函数性质可知，phi[n] = （p-1）*（q-1）。

求e的逆元d需要用扩展欧几里得，ed+k*phi[n]=1.要注意处理求出的d是负数的情况。

最后求c^d就要用到快速幂模，然后再MOD n 就是所求m。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
typedef long long  LL ;

using namespace std ;

bool isprime(int n)
{
    for(int i = 2 ; i * i <= n ; i++)
    {
        if(n % i == 0) return false ;
    }
    return true ;
}
int multimod(int a,int n,int m)
{
    int tmp = a , res = 1 ;

    while(n)
    {
        //printf("11\n") ;
        if(n & 1)
        {
            res *= tmp ;
            res %= m ;
        }
        tmp *= tmp ;
        tmp %= m ;
        n >>= 1 ;
        //printf("%d\n",n) ;
    }
    return res ;
}
void exde(int a,int b,int &x,int& y)
{
    int t ;
    if(b == 0)
    {
        x = 1 ;
        y = 0 ;
        return ;
        //return a;
    }
     exde(b,a%b,x,y) ;
    t = x ;
    x = y ;
    y = t-(a/b)*y;
    //return d ;
}
int main()
{
    int T ,e,c,n;
    scanf("%d",&T) ;
    while(T--)
    {
        scanf("%d %d %d",&e,&n,&c) ;
        int p,q ,x,y;
        //printf("1\n");
        for(int i = 2 ; i * i <= n ; i++)
        {
            if((n % i == 0) && isprime(i) && isprime(n / i))
            {
                p = i ;
                q = n / i ;
                break ;
            }
        }
        //printf("p = %d q = %d\n",p,q) ;
        exde(e,(p-1)*(q-1),x,y);
        //printf("%d %d\n",p,q) ;
        int d = x ;
        //printf("%d\n",d+(p-1)*(q-1)) ;
        if(d < 0)
            d = (d+(p-1)*(q-1)) %((p-1)*(q-1)) ;
        //printf("%d\n",d) ;
        int ans = multimod(c,d,n) ;
        printf("%d\n",ans) ;
    }
    return 0 ;
}

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