hdu4059The Boss on Mars 容斥原理

最新推荐文章于 2024-10-23 00:37:56 发布

清，纯一色

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原文链接：http://www.cnblogs.com/yfceshi/p/7339187.html

本文介绍了一种算法，用于计算1到n之间与n互质的数的四次方的和。该算法利用了费马小定理和容斥原理，并通过分解素数因子来实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

//求1到n之间与n互质的数的四次方的和
//segma(n^4) = (6n^5+15n^4+10n^3-n)/30
//对于(a/b)%mod能够转化为(a*inv(b))%mod
//inv(b)为b的逆元
//由费马小定理a^(p-1) = 1(modp) a , p 互质可得
//30的逆元为30^(mod-2)
//由容斥原理非常easy得到与n不互质的数之和为
//对于全部的n的素数因子
//一个素数因子的全部数的四次方之和-有两个素数因子的全部数的四次方之和+有三个。

。。。
//然后用总的减去不互质的即为互质的
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std ;
const int maxn = 1010 ;
typedef __int64 ll ;
const __int64 mod = 1e9+7 ;
int p[maxn] ;
int len ;
ll inv ;
void get_prime(ll n)
{
len = 0 ;
for(int i = 2;i*i <= n;i++)
{
if(n%i == 0)p[++len] = i;
while(n%i==0)n/=i ;
}
if(n>1)p[++len] = n ;
}
ll Pow(ll a , ll b)
{
ll c = 1 ;
while(b)
{
if(b&1)c = (c*a)%mod;
a = (a*a)%mod;
b >>= 1;
}
return c ;
}
ll dfs(int pos , int n)
{
ll ans = 0 ;
for(int i = pos;i <= len ;i++)
{
ll t = n/p[i] ;
ll t_1 = ((((6*Pow(t,5) + 15*Pow(t,4) + 10*Pow(t,3) - t))%mod)*inv)%mod;
ans = (ans + (Pow(p[i] , 4)*(t_1- dfs(i+1 , n/p[i]))))%mod;
}
return ans ;
}
int main()
{
int T ;
scanf("%d" , &T) ;
inv = Pow(30 , mod - 2) ;
while(T--)
{
ll n ;
scanf("%I64d" , &n) ;
get_prime(n) ;
ll ans = (((((6*Pow(n,5) + 15*Pow(n,4) + 10*Pow(n,3) - n))%mod)*inv)%mod - dfs(1 , n))%mod ;
printf("%I64d\n" , (ans+mod)%mod);
}
return 0 ;
}