01背包和完全背包

01背包要求是每个物品最多只能选择一次
完全背包要求是每个物品可无限次选取

 

01背包的状态方程为 f[i][j]=max(f[i-1][j-w(j)]+value[i],f[i-1][j]);

完全背包的状态方程为f[i][j]=max(f[i-1][j-w(j)*c]+value[i]*c,f[i-1][j]);

 

01背包二维存储 如f[i][j] i表示在前i个选 j表示总容量

注意第4行循环是 0->w

1 for i:=0 to w do
2 f[0,i]:=0;
3 for i:=1 to m do
4 for j:=0 to w do begin
5 f[i,j]:=f[i-1,j];
6 if (j>=w) and (f[i-1,j-w]+v>f[i,j]) then
7 f[i,j]:=f[i-1,j-w]+v;

优化空间 用一维数组存储，f[v] ,v表示总容量

for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c]+w};

区别是v是从V->0

这样是避免重复选取某个元素，如果从0->V,当v=k时,满足据k>w(i)选入, v>k时 又会再次选入。

二维数组i-1行元素存储了上次情况，无需考虑

 

完全背包

for i=1..N
for j=c..V
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}

   你会发现，这个伪代码与01背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？

首先想想为什么01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[v]是由状态f[v-c]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个没有已经选入第i件物品的子结果f[v-c]。

   而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[v-c]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

   这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：

   f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}

 

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