bzoj3612 平衡 (dp)

weixin_30786617

于 2018-10-01 20:51:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Ressed/p/9735702.html

本文探讨了一种使用组合数学解决算法竞赛中特定类型问题的方法。通过定义f[i][j]为将i拆分为j个不重复的、在1到N之间的数的方案数，文章详细解释了一个递推公式及其背后的逻辑，该公式用于计算这些方案的数量。考虑到数的范围限制，文章还介绍了如何调整递推关系以排除超出范围的方案。最后，通过一个具体的C++实现示例，展示了如何运用此方法来求解实际问题。

设f[i][j]为把i拆成j个不重复的、大于0小于等于N的数的方案数

我们考虑一个方案是怎么来的：（初始状态是f[0][0]=1）

　　如果这个方案里有1，那它是先把原来的状态的每个数加1、然后再增加一个1

　　如果这个方案没有1，那它是把原来的状态直接每个数加1得来的

就对应了方程$f[i][j]=f[i-j][j]+f[i-j][j-1]$

但这还不够，还没有限定这个数不能大于N

由于我们每次加的都是1，所以只需要把加出来了N+1的情况减掉就可以

那这个f[i][j]的包含N+1的状态，一定能由f[i-N-1][j-1]，就是相当于直接把这个N+1去掉转移过来，把它减下去就可以了

然后枚举左右两边去的个数、再枚举力矩和，统计答案。注意是可以把正中间那个位置去掉的

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define pa pair<int,int>
 3 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=10010,maxk=12;
 7 
 8 inline ll rd(){
 9     ll x=0;char c=getchar();int neg=1;
10     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
11     while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
12     return x*neg;
13 }
14 
15 int N,K,P;
16 int f[maxn*maxk][maxk];
17 
18 inline void getf(){
19     CLR(f,0);
20     f[0][0]=1;
21     for(int i=1;i<=N*(K-1);i++){
22         for(int j=1;j<K&&i-j>=0;j++){
23             f[i][j]=f[i-j][j]+f[i-j][j-1]-(i-N-1>=0?f[i-N-1][j-1]:0);
24             f[i][j]%=P;
25             // printf("%d %d %d\n",i,j,f[i][j]);
26         }
27     }
28 }
29 
30 int main(){
31     //freopen("","r",stdin);
32     int i,j,k;
33     for(int t=rd();t;t--){
34         N=rd(),K=rd(),P=rd();
35         int ans=0;
36         if(K==1){printf("1\n");continue;}
37         getf();
38         for(i=1;i<K;i++){
39             for(j=i;j<=N*i;j++){
40                 ans=(ans+1ll*f[j][i]*f[j][K-i]+1ll*f[j][i]*f[j][K-i-1])%P;
41                 // printf("!%d %d %d\n",i,j,ans);
42             }
43         }
44         printf("%d\n",ans);
45     }
46     return 0;
47 }