POJ2976 Dropping tests——01分数规划—

本文深入探讨了01分数规划的概念，包括其定义、两种主要求解方法（二分法与Dinkelbach迭代法）以及如何通过代码实现。重点强调了解决过程中的关键步骤和每种方法的优缺点。

什么是01分数规划：

给出n个分数ai/bi，选出m个(m<=n)使得∑(ai)/∑(bi){其中i是被选出的分数编号}达到最大值。

01 分数规划的两种方法：

1、二分法

二分一个答案k，令ci=ai-k*bi，并将ci排序，选出最大的m个，如果∑（ci）{1<=i<=m}>=0，那么提高答案k的下界，否则降低上界，直到k的精度满足要求为止。

2、Dinkelbach迭代法

随意构造一个答案k，令ci=ai-k*bi，并将ci排序，选出最大的m个，令q=∑（ai）/∑(bi){1<=i<=m}与k的差在精度范围内就输出，否则令k=q，直至满足精度要求。

总结：

两种方法各有利弊，二分法精度较高，容易理解和证明，然而速度较慢。而Dinkelbach迭代法速度较快，但精度低，不易理解和证明。可视情况选择解题方法。

给出本题的代码（Dinkelbach迭代法）：

Program Dropping_Tests;//By_Thispoet
Const
	maxn=1000;
Var
	i,m,n							:Longint;
	j,p								:Int64;
	k,q								:Extended;
	a,b								:Array[1..maxn]of Int64;
	c								:Array[1..maxn]of Extended;
	
Procedure Qsort(l,r:Longint);
var i,j		:Longint;
	tmp		:Int64;
	k,temp	:Extended;
begin
	i:=l;j:=r;k:=c[(i+j)>>1];
	repeat
		while c[i]>k do inc(i);
		while c[j]<k do dec(j);
		if i<=j then
			begin
				tmp:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=tmp;
				tmp:=b[i];b[i]:=b[j];b[j]:=tmp;
				temp:=c[i];c[i]:=c[j];c[j]:=temp;
				inc(i);dec(j);
			end;
	until i>j;
	if l<j then Qsort(l,j);
	if i<r then Qsort(i,r);
end;
	
	
BEGIN

	readln(n,m);
	
	while not ((n=0)and(m=0)) do
		begin
			
			m:=n-m;
			for i:=1 to n do read(a[i]);readln;
			for i:=1 to n do read(b[i]);readln;
			q:=0.5;
			
			repeat
			
				k:=q;
				j:=0;p:=0;
				for i:=1 to n do c[i]:=a[i]-b[i]*k;
				Qsort(1,n);
				for i:=1 to m do
					begin
						inc(j,a[i]);
						inc(p,b[i]);
					end;
				q:=j/p;
				
			until abs(k-q)<=0.00001;
			
			writeln(round(100*k));
			
			readln(n,m);
			
		end;

END.

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