[Uva10294]Arif in Dhaka

最新推荐文章于 2019-05-06 20:06:02 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/gzy-cjoier/p/7472656.html

本文介绍了一道经典组合数学题目Uva10294的解题思路，利用Burnside引理解决手镯和项链的计数问题。文章详细解释了如何通过分析旋转和翻转操作来确定不同配置的数量。

[Uva10294]Arif in Dhaka

标签：置换 Burnside引理

题目链接

题意

有很多个珠子穿成环形首饰，手镯可以翻转和旋转，项链只能旋转。（翻转过的手镯相同，而项链不同）
有n个珠子，k种颜色，输出不同的项链和手镯的个数。

题解

先考虑旋转的置换：
假如旋转i颗珠子，那么显然产生的循环节个数为gcd(i,n)，那么就可以做了。
考虑翻转的置换：
首先可以知道，如果先旋转再翻转，肯定可以找到某一种翻转的置换与之等价。
那么假如珠子的个数为奇数，可以得到（n/2）个长度为2的循环，一个长度为1的循环。
假如是偶数，那么还需要分情况讨论：
- 如果对称轴不穿过任一珠子，那么会分成（n/2）个长度为2的循环；
- 如果穿过珠子，就会分成（n/2-1）个长度为2的循环和2个长度为1的循环；

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define EREP(i,a) for(int i=start[(a)];i;i=e[i].next)
inline int read()
{
    int sum=0,p=1;char ch=getchar();
    while(!(('0'<=ch && ch<='9') || ch=='-'))ch=getchar();
    if(ch=='-')p=-1,ch=getchar();
    while('0'<=ch && ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=getchar();
    return sum*p;
}

const int maxn=120;

int n,t;
ll power[maxn];

void doing()
{
    ll A=0,B=0;
    power[0]=1;
    REP(i,1,n)power[i]=power[i-1]*t;
    REP(i,1,n)A+=power[__gcd(i,n)];
    if(n & 1)B=n*power[n/2+1];
    else B=n/2*(power[n/2]+power[n/2+1]);
    cout<<A/n<<" "<<(A+B)/2/n<<endl;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&t)==2)
    {
        doing();
    }
    
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/gzy-cjoier/p/7472656.html