BZOJ.2324.[ZJOI2011]营救皮卡丘(费用流 Floyd)-优快云博客

本文详细解析了一道BZOJ洛谷上的题目，通过预处理最短路径，构建二分图并使用最小费用最大流算法求解。对比了zkw和SPFA两种算法的实现和性能。

首先预处理出\(dis[i][j]\)，表示从\(i\)到\(j\)的最短路。可以用\(Floyd\)处理。
注意\(i,j\)是没有大小关系限制的（\(i>j\)的\(dis[i][j]\)也要求，虽然后面用不到），因为可以从\(i\)经过中间点\(k,\ i<k<j\)，到达\(j\)。同时\(i\to j\)只能经过\(k<\max(i,j)\)的点，否则是走不了\(k\)的。

然后题意可以转化为用不超过\(k\)条路径覆盖所有点，最小化边权和。
拆点，建二分图。对于任意两点\(i,j,\ i<j\)，只由\(i\)向\(j'\)连边，容量\(1\)，费用为\(dis[i][j]\)。这样建有向边也符合从编号小的向大的走，也不会出现环。
从\(S\)向\(1,...,n\)连容量\(1\)，费用\(0\)的边；\(1,...,n\)向\(T\)连容量\(1\)，费用\(0\)的边。
\(S\)向\(0\)连容量\(k\)，费用\(0\)的边；\(0\)向每个拆点后的点\(1',...,n'\)连容量\(1\)，费用\(dis[0][i]\)的边。
然后跑最小费用最大流即可。

这样为什么可以满足\(k\)路径覆盖呢。。从\(0\)向\(i'\)流就表示新建一条\(0\to i'\to...\)的路径，不会超过\(k\)条。（如果是\(i\to j',\ i\neq0\)，则表示在一条已有的路径中从\(i\)走到了\(j\)）
同时图是\(DAG\)，且会满流，所以一定合法。

终于遇到zkw比SPFA慢的题了/托腮。

SPFA：

//3072kb    220ms
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=305,M=(N*N/2+3*N)*2,INF=0x3f3f3f3f;

int S,T,Cost,Enum,H[N],nxt[M],fr[M],to[M],cap[M],cost[M],dis[N][N],pre[N];
bool vis[N];

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
    return now;
}
inline void AE(int u,int v,int w,int c)
{
    to[++Enum]=v, fr[Enum]=u, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, cap[Enum]=w, cost[Enum]=c;
    to[++Enum]=u, fr[Enum]=v, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, cap[Enum]=0, cost[Enum]=-c;
}
bool SPFA()
{
    static int dis[N];
    static bool inq[N];
    static std::queue<int> q;
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    dis[S]=0, q.push(S);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front(); q.pop();
        inq[x]=0;
        for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
            if(cap[i] && dis[to[i]]>dis[x]+cost[i])
                dis[v=to[i]]=dis[x]+cost[i], pre[v]=i, !inq[v]&&(q.push(v),inq[v]=1);
    }
    return dis[T]<INF;
}
inline void Augment()
{
    for(int i=T; i!=S; i=fr[pre[i]])
        --cap[pre[i]], ++cap[pre[i]^1], Cost+=cost[pre[i]];
}
int MCMF()
{
    while(SPFA()) Augment();
    return Cost;
}

int main()
{
    const int n=read(),m=read(),K=read();
    Enum=1, S=2*n+1, T=2*n+2;
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    for(int i=0; i<=n; ++i) dis[i][i]=0;
    for(int i=1,u,v; i<=m; ++i)
        u=read(), v=read(), dis[u][v]=dis[v][u]=std::min(dis[v][u],read());
    for(int k=0; k<=n; ++k)
        for(int i=0; i<=n; ++i)
            for(int j=0; j<=n; ++j)
                if(k<i||k<j) dis[i][j]=std::min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    AE(S,0,K,0);
    for(int i=1; i<=n; ++i) AE(S,i,1,0), AE(i+n,T,1,0);
    for(int i=0; i<n; ++i)
        for(int j=i+1; j<=n; ++j)
            AE(i,j+n,1,dis[i][j]);
    printf("%d\n",MCMF());

    return 0;
}

zkw：

//2704kb    280ms
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=305,M=(N*N/2+3*N)*2,INF=0x3f3f3f3f;

int S,T,Cost,Enum,cur[N],H[N],nxt[M],to[M],cap[M],cost[M],dis[N][N],f[N];
bool vis[N];

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
    return now;
}
inline void AE(int u,int v,int w,int c)
{
    to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, cap[Enum]=w, cost[Enum]=c;
    to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, cap[Enum]=0, cost[Enum]=-c;
}
bool SPFA()
{
    static bool inq[N];
    static std::queue<int> q;
    memset(f,0x3f,T+1<<2);
    f[S]=0, q.push(S);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front(); q.pop();
        inq[x]=0;
        for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
            if(cap[i] && f[to[i]]>f[x]+cost[i])
                f[v=to[i]]=f[x]+cost[i], !inq[v]&&(q.push(v),inq[v]=1);
    }
    return f[T]<INF;
}
bool DFS(int x)
{
    if(x==T) return 1;
    vis[x]=1;
    for(int &i=cur[x]; i; i=nxt[i])
        if(cap[i] && !vis[to[i]] && f[to[i]]==f[x]+cost[i] && DFS(to[i]))//f not dis!
            return --cap[i],++cap[i^1],Cost+=cost[i],1;
    return 0;
}
int MCMF()
{
    while(SPFA())
    {
        memset(vis,0,T+1), memcpy(cur,H,T+1<<2);
        while(DFS(S));
    }
    return Cost;
}

int main()
{
    const int n=read(),m=read(),K=read();
    Enum=1, S=2*n+1, T=2*n+2;
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    for(int i=0; i<=n; ++i) dis[i][i]=0;
    for(int i=1,u,v; i<=m; ++i)
        u=read(), v=read(), dis[u][v]=dis[v][u]=std::min(dis[v][u],read());
    for(int k=0; k<=n; ++k)
        for(int i=0; i<=n; ++i)
            for(int j=0; j<=n; ++j)
                if(k<i||k<j) dis[i][j]=std::min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    AE(S,0,K,0);
    for(int i=1; i<=n; ++i) AE(S,i,1,0), AE(i+n,T,1,0);
    for(int i=0; i<n; ++i)
        for(int j=i+1; j<=n; ++j)
            AE(i,j+n,1,dis[i][j]);
    printf("%d\n",MCMF());

    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/10337231.html