Flash/Flex学习笔记(48)：反向运动学(下)

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原文链接：http://www.cnblogs.com/yjmyzz/archive/2010/05/06/1728809.html

本文探讨了如何运用余弦定理解决反向运动学中的伸展问题，并通过代码实例展示了不同处理方式对系统姿态的影响及优化手段。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

先要复习一下三角函数与余弦定理:

对于直角三角形，三边长a,b,c与三个角A,B,C的关系如下：

正弦函数:

$gif.latex?sin(A)=%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D$

余弦函数：

$gif.latex?cos(A)=%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D$

正切函数：

$gif.latex?tan(A)=%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D$

反正切函数:(好象现在的教科书里改叫“余切”函数)

$gif.latex?arctan(A)=%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D$ 或 $gif.latex?cot(A)=%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D$

勾股定律：

$gif.latex?c%5E2=a%5E2+b%5E2$

但对于不是直角的三角形，就必须用余弦定律来处理了：

$gif.latex?a=%5Csqrt%7Bb%5E2+c%5E2-2bc%5Ctimes%20cos(A)%7D$

$gif.latex?b=%5Csqrt%7Ba%5E2+c%5E2-2ac%5Ctimes%20cos(B)%7D$

$gif.latex?c=%5Csqrt%7Ba%5E2+b%5E2-2ab%5Ctimes%20cos(C)%7D$

$gif.latex?cos(C)=%5Cfrac%7B(a%5E2+b%5E2-c%5E2)%7D%7B2a%5Ctimes%20b%7D$

$gif.latex?cos(B)=%5Cfrac%7B(a%5E2+c%5E2-b%5E2)%7D%7B2a%5Ctimes%20c%7D$

$gif.latex?cos(A)=%5Cfrac%7B(b%5E2+c%5E2-a%5E2)%7D%7B2b%5Ctimes%20c%7D$

利用余弦定理也可以处理反向运动学中的伸展：

上面这个是示意图(花了我近一天时间才弄明白，汗，高中的数学知识全还给老师了)

说明:蓝色的seg1作为固定端，红色的seg0作为自由端，下面是处理步骤

1.根据鼠标所在位置(mouseX,mouseY)得到dy,dx，进而确定角度D
2.根据a,b,c边长，确定角度B
3.蓝色seg1的旋转角度为 D+B

4.蓝色seg1旋转后，将红色seg0重新挂到seg1末端
5.红色seg0的旋转角度，我们借助向量平移，可以得到最终的旋转角度E为： D + B + 180度 + C

package {
	import flash.display.Sprite;
	import flash.events.Event;
	import flash.geom.Point;
	
	public class Cosines extends Sprite {
		
		private var seg0:Segment;
		private var seg1:Segment;
		private var seg0Width:uint = 80;
		private var seg1Width:uint = 100;
		
		public function Cosines() {
			init();
		}
		
		private function init():void {
			seg0=new Segment(seg0Width,10,0xff0000);
			addChild(seg0);
			seg1=new Segment(seg1Width,20,0x0000ff);
			addChild(seg1);
			seg1.x=stage.stageWidth/2;
			seg1.y=stage.stageHeight/2;
			addEventListener(Event.ENTER_FRAME, onEnterFrame);
		}
		
		private function onEnterFrame(event:Event):void {
			var dx:Number=mouseX-seg1.x;
			var dy:Number=mouseY-seg1.y;
			var dist:Number=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);
			var a:Number=seg0Width;
			var b:Number=seg1Width;
			var c:Number=Math.min(dist,a+b);//注:如果鼠标离自由端太远，构不成三角形时，c边以a+b为准，相当于此时三角形退化为二个角接近0,	另一角接近180度的特殊情况
			var B:Number = Math.acos((b * b - a * a - c * c) / (-2 * a * c));//注：flash中的坐标系跟数学中的常规坐标系，y轴是反向的，所以"2"前要加负号
			var C:Number = Math.acos((c * c - a * a - b * b) / (-2 * a * b));
			var D:Number=Math.atan2(dy,dx);	
			
			//处理固定端的旋转
			seg1.rotation = (D + B) * 180 / Math.PI;
			
			//重新将seg0挂到seg1末端
			seg0.x=seg1.getPin().x;
			seg0.y=seg1.getPin().y;
			
			//处理自由端的旋转
			var E:Number=D+B+Math.PI+C;
			seg0.rotation=E*180/Math.PI;
		}
	}
}

问题来了:这种处理方式与上一篇中的处理方式有什么区别么？如果我们同样把播放速度放慢到每秒一帧，仔细观察

private function onEnterFrame(event:Event):void {
			var dx:Number=mouseX-seg1.x;
			var dy:Number=mouseY-seg1.y;
			var dist:Number=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);
			var a:Number=seg1Width;
			var b:Number=seg0Width;
			var c:Number=Math.min(dist,a+b);
			var B:Number = Math.acos((b * b - a * a - c * c) / (-2 * a * c));
			var C:Number = Math.acos((c * c - a * a - b * b) / (-2 * a * b));
			var D:Number=Math.atan2(dy,dx);			
			seg1.rotation = (D + B) * 180 / Math.PI;			
			seg0.x=seg1.getPin().x;
			seg0.y=seg1.getPin().y;			
			var E:Number=D+B+Math.PI+C;
			seg0.rotation=E*180/Math.PI;

			//新增的画线部分，以方便观察  
			graphics.clear();
			graphics.lineStyle(1,0xff0000,0.5);
			graphics.moveTo(mouseX,mouseY);
			graphics.lineTo(seg0.getPin().x,seg0.getPin().y);

			graphics.lineStyle(1,0x0000ff,0.5);
			graphics.moveTo(mouseX,mouseY);
			graphics.lineTo(seg1.getPin().x,seg1.getPin().y);

		}

通过对比上一篇里“同样放慢到每秒一帧”的那个示例，观察辅助线可以看到：现在这种方式对于系统姿态的调整是"一步到位"的，而上篇中的方式需要经过多次调整，才能达到最终的稳定姿态。

利用这个区别我们可以做一些性能优化：如果一次调整到位后，EnterFrameHandler函数里可以不做任何处理，以节省CPU资源。同时考虑上面代码中的三角型退化成直线的特殊情况(通常是鼠标位置与自由端太远时才发生)，相当于二个关节直接拼成一个直棒，这时其实只要简单处理固定端旋转，同时把自由端重新挂在固定端即可。下面是优化后的代码

package {
	import flash.display.Sprite;
	import flash.events.Event;
	import flash.geom.Point;

	public class Cosines extends Sprite {

		private var seg0:Segment;
		private var seg1:Segment;
		private var seg0Width:uint=80;
		private var seg1Width:uint=100;

		//用于保存上次自由端的dx,dy值
		private var dxOld:Number=0;
		private var dyOld:Number=0;

		public function Cosines() {
			init();
		}

		private function init():void {
			seg0=new Segment(seg0Width,10,0xff0000);
			addChild(seg0);
			seg1=new Segment(seg1Width,20,0x0000ff);
			addChild(seg1);
			seg1.x=stage.stageWidth/2;
			seg1.y=stage.stageHeight/2;
			addEventListener(Event.ENTER_FRAME, onEnterFrame);
		}

		private function onEnterFrame(event:Event):void {
			var dx:Number=mouseX-seg1.x;
			var dy:Number=mouseY-seg1.y;
			if (dx==dxOld&&dy==dyOld) {
				//trace("已经调整到位了!");
				return;//直接返回，不作处理了
			}
			dxOld=dx;
			dyOld=dy;
			//trace(dx,dy);
			var dist:Number=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);
			var a:Number=seg1Width;
			var b:Number=seg0Width;
			if (dist>=(a+b)) {
				//trace(dist,a+b);
				seg1.rotation=seg0.rotation=Math.atan2(dy,dx)*180/Math.PI;
			} else {
				var c:Number=Math.min(dist,a+b);
				var B:Number = Math.acos((b * b - a * a - c * c) / (-2 * a * c));
				var C:Number = Math.acos((c * c - a * a - b * b) / (-2 * a * b));
				var D:Number=Math.atan2(dy,dx);
				seg1.rotation = (D + B) * 180 / Math.PI;
				var E:Number=D+B+Math.PI+C;
				seg0.rotation=E*180/Math.PI;
			}
			seg0.x=seg1.getPin().x;
			seg0.y=seg1.getPin().y;
		}
	}
}

最后一个问题：这种方式虽然更高效，但是也有一个缺点，只能向一个方向旋转，原因就在于角度 E = D+B+Math.PI + C这种计算方式，如果想换一个方向的话，大家可以把示意图中的三角型以c边为轴“向上翻”，这里就不重复画了，seg1的旋转角度和E的计算公式改成下面这样，其它不变：

seg1.rotation = (D - B) * 180 / Math.PI;
var E:Number=D - B + Math.PI - C;

我们可以根据鼠标所在点是否在固定端左边或右边，用代码切换旋转方向，这样就与上一篇中的效果彻底一致了

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