[BZOJ3505][Cqoi2014]数三角形-优快云博客

本文介绍了一道Cqoi2014竞赛题目“数三角形”的解决方法，该题要求计算给定网格中格点构成的三角形数量，避免三点共线的情况。通过组合数学和几何原理，给出了详细的算法实现。

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3505: [Cqoi2014]数三角形

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 1718 Solved: 1059 [Submit][Status][Discuss]

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围
1<=m,n<=1000

显然格点为$\left(n+1\right)*\left(m+1\right)$个

所以先$inc\left(n\right),inc\left(m\right)$

考虑算出选三个点总数再减去共线情况

总数$C_{n*m}^3$

横竖共线$nC_m^3+mC_n^3$

斜着的可以考虑枚举每两个点，然后计算两点连线上的格点

考虑对于$\left(0,0\right)-\left(x_0,y_0\right)$的一条线段上

所有点满足方程$y_0x-x_0y=0$，显然解有$gcd(x_0,y_0)+1$个

排除掉两个端点还有$gcd(x_0,y_0)-1$个

发现其实只要线段的$(dx,dy)$一样那么就是等价的而不用在意位置，所以乘一下就好了

#include <iostream>
typedef long long ll;
inline ll gcd(ll a, ll b){
    ll t;
    if(a > b){
        t = a;
        a = b;
        b = t;
    }
    while(a){
        t = a;
        a = b % a;
        b = t;
    }
    return b;
}
ll n, m, ans;
int main(){
    std::cin >> n >> m;
    n++;
    m++;
    ans = n * m * (n * m - 1) * (n * m - 2) - n * m * (m - 1) * (m - 2) - m * n * (n - 1) * (n - 2);
    ans /= 6;
    ll t;
    for(ll i = 1; i < n; i++)
        for(ll j = 1; j < m; j++){
            t = gcd(i, j);
            ans -= 2LL * (t - 1) * (n - i) * (m - j);
        }
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}