Dijkstra算法

本文详细介绍Dijkstra算法,一种计算单源最短路径的经典算法。文章首先介绍了算法的基本概念及适用场景,随后通过具体步骤解析算法的工作原理,并提供了一个C++实现示例。

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Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

2.算法描述

1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

附个代码:

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int maxn=99999;
 7 bool visit[101];//判断是否走过 
 8 int dis[101];//记录每条边的长度 
 9 int cmp[101][101],path[101];
10 int n,m,u,v,h,a,e,k;
11 int min1; 
12 
13 void sc(int s)
14 {
15     for(int i=1;i<=n;i++)
16     {
17         dis[i]=cmp[s][i];
18         if(dis[i]!=maxn)//记录路径
19         path[i]=s;
20         else
21         path[i]=0;
22     }
23     visit[s]=true;
24     dis[s]=0;
25     for(int i=1;i<=n-1;i++)//因为第一个数已确定,所以循环n-1次 
26     {
27         min1=maxn;
28         k=s;
29         for(int j=1;j<=n;j++)//查找最小值 
30         {
31             if(!visit[j]&&dis[j]<min1)
32             {
33                 min1=dis[j];
34                 k=j;
35             }
36         }
37         visit[k]=1;
38         for(int w=1;w<=n;w++)//寻找最短路径的长度 
39         {
40             if(!visit[w]&&dis[w]>cmp[k][w]+dis[k])
41             {
42                 dis[w]=cmp[k][w]+dis[k];
43                 path[w]=k;
44             }
45         } 
46     }
47     cout<<dis[e]<<endl;//输出最短距离 
48 }
49 
50 void out(int u,int v)
51 {
52     int que[101];
53     int tot=1;
54     que[tot]=v;
55     tot++;
56     int temp=path[v];
57     while(temp!=u)
58     {
59         que[tot]=temp;
60         tot++;
61         temp=path[temp];
62     }
63     que[tot]=u;
64     for(int i=tot;i>=1;i--)
65     {
66         if(i!=1)
67         cout<<que[i]<<"-->";
68         else
69         cout<<que[i]<<endl;
70     }
71 }
72 
73 int main()
74 {
75     cin>>n>>m;
76     for(int i=1;i<=m;i++)//初始化
77        for(int j=1;j<=m;j++)
78         cmp[i][j]=maxn;
79         /*memset(cmp,maxn,sizeof(cmp));*/
80     for(int i=1;i<=m;i++)
81     {
82         cin>>u>>v>>h;
83         cmp[u][v]=cmp[v][u]=h;//无向图,可逆 
84     }
85     for(int i=1;i<=m;i++)//初始化
86         dis[i]=maxn;
87     cin>>a>>e;
88     sc(a);
89     out(a,e);
90     return 0;
91 }

 

转载于:https://www.cnblogs.com/wsdestdq/p/6725155.html

### Dijkstra算法简介 Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的经典算法,适用于带权重的有向图或无向图中的最短路径计算[^1]。该算法的核心思想是从起始节点出发,逐步扩展已知距离最小的未访问节点,并更新其邻居节点的距离。 --- ### Dijkstra算法实现 以下是基于优先队列优化版本的Dijkstra算法实现: #### Python代码示例 ```python import heapq def dijkstra(graph, start): # 初始化距离字典,默认值为无穷大 distances = {node: float('inf') for node in graph} distances[start] = 0 # 使用堆来存储待处理节点及其当前距离 priority_queue = [(0, start)] while priority_queue: current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue) # 如果当前距离大于记录的距离,则跳过此节点 if current_distance > distances[current_node]: continue # 遍历相邻节点并更新距离 for neighbor, weight in graph[current_node].items(): distance = current_distance + weight # 更新更短的距离 if distance < distances[neighbor]: distances[neighbor] = distance heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor)) return distances ``` 上述代码中,`graph` 是一个邻接表形式表示的加权图,其中键是节点名称,值是一个字典,描述与其相连的其他节点以及边的权重[^2]。 --- ### Dijkstra算法的应用场景 1. **网络路由协议** 在计算机网络中,路由器可以利用Dijkstra算法找到到达目标地址的最佳路径,从而提高数据传输效率[^3]。 2. **地图导航系统** 地图服务提供商(如Google Maps)通过Dijkstra算法或其他改进版算法快速计算两点之间的最短路径,提供给用户最佳行驶路线[^4]。 3. **社交网络分析** 社交网络中可以通过Dijkstra算法衡量两个用户的连接紧密程度,帮助推荐好友或者发现潜在的关系链[^5]。 4. **物流配送规划** 物流公司使用类似的最短路径算法优化货物运输线路,减少成本和时间消耗[^6]。 --- ### 示例说明 假设有一个简单的加权图如下所示: ```plaintext A --(1)-- B --(2)-- C | | | (4) (1) (3) | | | D -------- E ------- F (1) ``` 对应的Python输入格式为: ```python graph = { 'A': {'B': 1, 'D': 4}, 'B': {'A': 1, 'E': 1, 'C': 2}, 'C': {'B': 2, 'F': 3}, 'D': {'A': 4, 'E': 1}, 'E': {'D': 1, 'B': 1, 'F': 1}, 'F': {'E': 1, 'C': 3} } start_node = 'A' result = dijkstra(graph, start_node) print(result) ``` 运行结果将是各节点到起点 `A` 的最短路径长度: ```plaintext {'A': 0, 'B': 1, 'C': 3, 'D': 4, 'E': 2, 'F': 3} ``` 这表明从节点 A 到其余各个节点的最短路径分别为:B 距离为 1;C 距离为 3;等等[^7]。 ---
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