唉，上午就碰到一个开不了机的电脑，白白浪费了半个小时，真的难受QwQ
POINT1 枚举
枚举也称作穷举，指的是从问题所有可能的解的集合中一一枚举各元素。
用题目中给定的检验条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。能使命题成立的即为其解。
例一
一棵苹果树上有n个苹果，每个苹果长在高度为Ai的地方。
小明的身高为x他想知道他最多能摘到多少苹果
数据范围： 1 ≤ n, Ai, x ≤ 100
题解
问题相当于询问有多少i满足Ai <= x，考虑用for循环枚举每一个苹果是否能被摘到即可
例二
判断一个数X是否是素数
1 ≤ X ≤ 10
考虑定义，若X为合数，则必然有：∃1 < i < X, i|X
我们考虑直接枚举每个i，看他是否为X的因子
时间复杂度O(N)，不符合要求
事实上我们发现，假设X是一个合数，那么必然有:X = a * b,必然有：
min(a, b) <= √X
因此我们枚举的范围可以从X变为√X
时间复杂度O(√N)
例三
求[l, r]这段区间中有多少素数
1 ≤ l ≤ r ≤ 106
一个显然的想法是利用for循环枚举[l, r]中的每一个数。然后利用例二中的知识O(√X)进行判断
整体复杂度O(N√N),不符合要求
筛法求素数
仍然考虑枚举判断每个数是否是素数，但我们这次从2开始判断。
考虑对于任意一个数x,不论x是否为素数，都有x*2,x*3,x*4...为合数。我们“筛”掉这些必然为合数的
数。
那么当我们枚举到i，i还没有被筛掉，那么i必然为素数。
时间复杂度O(NlogN)
在判断是质数的同时计数即可
例四
T次询问，每次询问[l, r]中有多少素数
1 ≤ T ≤ 105, 1 ≤ l ≤ r ≤ 106
我们用ANSL,R来表示[l, r]中有多少素数，发现ANSL,R = ANS1,R - ANS1,L-1
于是我们可以维护一个素数个数的前缀和Sum[i]表示[1, i]中
有多少素数
每次询问就输出Sum[r] - Sum[l - 1]即可
已知n个整数x1, x2, .., xn,以及一个整数k,k < n。从n个数字中任选k 个整数相加，可分别得到一系列的和。
例如当n = 4, k = 3,四个整数分别为3,7,12,19时，可得全部的组合与他们的和为:
3 + 7 + 12 = 22
3 + 7 + 19 = 29
7 + 12 + 19 = 38
3 + 12 + 19 = 34
现在，要求计算出和为素数的组合共有多少种。
例如上例，只有一种组合的和为素数：3 + 7 + 19 = 29
1 ≤ n ≤ 20, k < n
1 ≤ x1, x2, .., xn ≤ 5 * 106
首先我们来考虑如何枚举这样的组合。
我们用ai来表示第i个数是否被选
ai = 1表示这个数被选择了
ai = 0表示这个数未被选择
枚举过程相当于枚举了一组二进制状态
比如对于五个数1,2,3,4,5
01010表示我们选择了2,4,未选择1,3,5
在不考虑k的限制的情况下，我们枚举所有组合就相当于枚举00..00(n个0) → 11..11(n个1)
对于任意一种中间状态，0的个数+1的个数为n
我们假设这是一个长为n的二进制数，我们将它转换成十进制。
事实上就是枚举了一个数，范围是[0, 2n)
判断位置i是否为1使用位运算来完成
例六
求[l,r]中有多少数既是回文数又是素数
1 ≤ l ≤ r ≤ 107
策略一
枚举每个数，判断他是不是回文数，判断他是不是素数
时间复杂度O(N√N + NlogN)
策略二
预处理出区间所有素数，枚举素数判定是否是回文数
时间复杂度O(NlogN)
策略三
枚举区间内所有回文数，判断是否是素数
枚举回文数即枚举一个数的前一半，再手动扩展成完整的数
另外，偶数位数的回文数都必然是11的倍数，不需要枚举。
时间复杂度O(√N * √N) = O(N)
枚举的优点
简单明了，分析直观
能够帮助我们更好地理解问题
运用良好的枚举技巧可以使问题变得更简单
缺点
时空间效率低
往往没有利用题目中的特殊性质
产生了大量冗余状态
POINT2 搜索
本质上是一种枚举
搜索算法一般做一些普通的枚举不方便表达状态的情况
例题
给出一个N*N的迷宫，求从起点出发，不经过障碍物到达终点的最短距离
解决这类问题一般有两种方式
1.深度优先搜索（dfs）
2.广度优先搜索 （bfs）
前置知识
栈：后进先出的数据结构
支持的操作：
加入一个数
删除最晚加入的数
查询最晚加入的数
实现：一个数组+一个用于指向栈顶位置的变量
系统内部递归即使用了栈
例如求斐波那契数列的第n项
DFS的操作过程
遇到岔路口，随便选一个走
走不到终点就换条路
当然也可以这么走
DFS的优缺点
优点：占用空间小（只需要记录从起点到当前点的路径）
代码短
缺点：获得的不一定是最优解
在图上路径非常多的时候，复杂度可能会达到指数级别
前置知识
队列：先进先出的数据结构
支持的操作：
加入一个数
删除最早加入的数
查询最早加入的数
实现：一个数组+头下标+尾下标
BFS的操作过程
开始走
走到岔路口，都要走
标记步数
疯狂操作
最终
要注意这里每一个步数相同的点都是同时向外走的，所以不会出现两个路径矛盾的情况
BFS的优缺点
优点：找到答案时找到的一定是最优解
复杂度不会超过图的大小
缺点：需要维护一个“当前箭头的集合”，空间较大
DFS和BFS的区别
DFS:能走就走，走不了才回头
BFS:我全都要
应用:图的遍历
G = (V , E)被称为一张图,则其包含两部分:
1.点集|V | = n,即有n个点,标号分别为1, 2, ..., n
2.边集|E| = m,有m条边(ui, vi),表示第ui个点和第vi个点有一条边相连.
边有向边和无向边之分,(u, v)是无向边,则u能直接走到v,v能直接走到u.
图的存储结构
1.画图
2.邻接矩阵存储,用A[x][y] = 0/1表示.优点是便于加删,但是需要O(N2)的空间.
3.直接用vector存下所有的边(邻接表法).优点是空间和访问比较快,缺点是删除比较麻烦.
图的连通块
在本课中我们基本只考虑无向图.
若a沿着边走可以到b,则称a与b在同一个连通块中,称a与b连通.
显然a与b连通,b与c连通,则a与c肯定连通.
一张图可以被分成若干个两两连通的块.
图的遍历
给出一张n个点m条边的图,分别求出每个连通块.
n, m ≤ 100000.
用bfs还是dfs?
每次任选一个没有被访问过的点,然后从这个点开始bfs,找到所有和它连通的点.
时间复杂度O(N + M)(用什么方式可以让每条边被遍历常数遍?).
树
若一张图只有恰好n - 1条边,并且任意两个点之间都是连通的,则称这张图是一棵树.
树的性质:任意两点之间有且只有一条路可以相互到达.
有根树:随便给出一个点x,设x是根,然后从x开始遍历,假设你从a一步遍历到了b,则记fab = a,容易发现每个点的父亲都是
唯一的.x的父亲记为0.
给出一棵n个点的树,将它转化为有根树的形式(假定以1为根)?
N ≤ 100000
用bfs还是dfs?
理论上来说bfs和dfs都可以,但一般我们用dfs构造.
复杂度O(N
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