[ZJOI2011]看电影(组合数学/打表+高精)

最新推荐文章于 2025-03-04 22:47:52 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Rorschach-XR/p/11140888.html

本文解析了一个数学概率问题，涉及电影院座位分配的特殊规则，通过转换思维将问题转化为环状结构，利用组合数学的方法求解全班同学都有座位的概率，给出了详细的算法实现。

Description

到了难得的假期，小白班上组织大家去看电影。但由于假期里看电影的人太多，很难做到让全班看上同一场电影，最后大家在一个偏僻的小胡同里找到了一家电影院。但这家电影院分配座位的方式很特殊，具体方式如下： 1. 电影院的座位共有K个，并被标号为1…K，每个人买完票后会被随机指定一个座位，具体来说是从1…K中等可能的随机选取一个正整数，设其为L。 2. 如果编号L的座位是空位，则这个座位就分配给此人，否则将L加一，继续前面的步骤。 3. 如果在第二步中不存在编号L的座位，则该人只能站着看电影，即所谓的站票。小白班上共有N人（包括小白自己），作为数学爱好者，小白想知道全班都能够有座位的概率是多少。

Input

输入文件第一行有且只有一个正整数T，表示测试数据的组数。第2～T+1行，每行两个正整数N,K，用单个空格隔开，其含义同题目描述。

Output

输出文件共包含T行。第i行应包含两个用空格隔开的整数A,B，表示输入文件中的第i组数据的答案为A/B。（注意，这里要求将答案化为既约分数）

Sample Input

3
1 1
2 1
2 2

Sample Output

1 1
0 1
3 4

【数据范围】
对于100%的数据 T<=50,N,K<=200

其实这题正解是打表找规律

首先我们一定是把所有方案数作为分母，

显然是$k^n$

另外当$n>k$时输出0 1即可

之后的思路就比较神仙

我们把链转成环，并在最后加一个座位

这样根据题目给定的规则，由于$n<k$，每个人最后一定可以坐下

如果有人走到座位$k$都不能坐下，他就会在加的那个座位坐下

那么一个合法方案即加的座位没有人坐的情况

这时候就可以开始列柿子了

$n$个人，每次选$k+1$中的一个坐下（反正最终一定能坐下，不用想的太复杂）,$(k+1)^n$

且因为环的性质（哪都能断，可能重复），每种排列算了k+1次

所以这部分是$\frac{(k+1)^n}{k+1}=(k+1)^{n-1}$

且有$k-n+1$个空着的

我们可以选择从这些位置断开重新伸展成链，使第$k+1$个座无意义化

$ANS=\frac{(k+1)^{n-1}(k-n+1)}{k^n}$

没模法显然要高精对吧

（高精乘低精就搞定了）

这道题还要求输出约分后的结果别告诉我你要高精除

分母累乘的时候一直求gcd一直约就行了

（快速幂什么的都去死吧）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int T,n,k,num1[10005],num2[10005],n1;
void mult(int x,int a[])
{
    int k=0;
    for(int i=1;i<=a[0];i++)
    {
        int tmp=a[i]*x+k;
        a[i]=tmp%10;
        k=tmp/10;
    }
    while(k)a[++a[0]]=k%10,k/=10;
}
int gcd(int x,int y)
{
    if(!y)return x;
    return gcd(y,x%y);
}
void work()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    memset(num1,0,sizeof(num1));
    memset(num2,0,sizeof(num2));
    num1[0]=num1[1]=num2[0]=num2[1]=1;
    if(n>k)
    {
        puts("0 1");
        return ;
    }
    n1=k-n+1;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
        mult(k+1,num1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int now=k,GCD=gcd(k,n1);
        if(GCD!=1)
        {
            now/=GCD;
            n1/=GCD;
        }
        mult(now,num2);
    }
    mult(n1,num1);
    for(int i=num1[0];i;i--)
        printf("%d",num1[i]);
    printf(" ");
    for(int i=num2[0];i;i--)
        printf("%d",num2[i]);
    puts(" ");
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)work();
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Rorschach-XR/p/11140888.html