学术：化圆为方问题

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化圆为方问题（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一，即求作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积。

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简介

化圆为方问题（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一，即求作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积。其难度在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用 直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和 圆规。最早研究这问题的是 安纳萨戈拉斯，他因「不敬神」的罪名被捕入狱，在狱中潜心研究化圆为方问题，可惜他的结果失传了。以后著名的研究者更有 希波克拉底、 安提丰、希皮亚斯等人。

 

研究

标尺作图问题曾吸引许多人研究，但无一成功。化圆为方问题，实际上就是用 直尺 圆规作出 线段π的问题。1882年法国数学家林 德曼（1852－1939）证明了π是 超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定 长度单位，则标尺可作的线段长必为 代数数 。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此线段不可作。

 

历史

公元前5世纪， 古希腊哲学家安那萨哥拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是 阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱。在法庭上， 安那萨哥拉斯申诉道：“ 哪有什么太阳神阿波罗啊！那个光耀夺目的大球，只不过是一块火热的石头，大概有伯罗奔尼撒半岛那么大；再说，那个夜晚发出清光，晶莹透亮象一面大镜子的月亮，它本身并不发光，全是靠了太阳的照射，它才有了光亮。”结果他被判处死刑。

在等待执行的日子了，夜晚，安那萨哥拉斯睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比 正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。”

安那萨哥拉斯把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的 圆面积”作为一个 尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料想他把所有的时间都用上，也一无所获。

经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救，安那萨哥拉斯获释出狱。他把自己在监狱中想到的问题公布出来，许多数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是著名的“ 化圆为方”问题。

2000年前的西坡拉蒂证明了新月形面积，即左图：

面积（半圆AEC）=面积( 扇形AFCO)。

他的方法即简单又高明，这又使得人们充满完成化圆为方问题的希望。直到 林德曼证明了 圆周率是 超越数以后，才知道是不可能的。

二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究 没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊 安提丰（公元前430）为解决此问题而提出的 「 穷竭法」，是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接 正方形（或正6边形），然后每次将边数加倍，得内接8、16、32、…边形，他相信「最后」的 正多边形必与圆周重合， 这样就可以 化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求 圆面积的近似方法，成为阿基米 德计算圆周率方法的先导，与中国 刘徽的 割圆术不谋而合，对穷竭法等 科学方法的建立产生 直接影响。

其实，若不受标尺的限制，化圆为方问题并非难事，欧洲文艺复兴时代的大师，意大利数学家 达芬奇（1452－1519）用已知圆为底，圆半径的1/2为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，如图。

所以所得矩形的面积=r/2．2πr=πrr ，然后再将矩形化为等积的 正方形即可。

词条标签：科技术语 ，  科学

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