poj 1286 Necklace of Beads 置换群polya计数-优快云博客

本文介绍了一种基于Polya计数原理的算法，用于计算由三种颜色珠子构成的项链的不同方案数，考虑了旋转和翻转相同的情况。文章详细解释了置换群的概念，并给出了具体的实现代码。

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题目大意：

　　使用三种颜色珠子串成一个n颗珠子的项链，项链旋转和翻转相同的视为同样方案，问有多少不同方案数

　　对于群论中置换群的计算公式我们有 BurnSide 和 Polya

　　前者是找所有置换群，后者是找置换群循环因子，其两者公式也相差不远，因为 Polya计数比较方便，所以通常使用 Polya公式

　　 $L = \frac{1}{|G|} \cdot \sum_{f\epsilon G}^{--} K^{e_{i}}$ 其中 ei 为第 i 个置换，其循环因子数量

　　对于 n 角/边对称图形，其包括旋转和反射

　　旋转顶点数量为（ 0, 1, 2 ... n-1 ) ： $P_{0}^{n}\cdot P_{1}^{n}\cdot P_{2}^{n}\cdot \cdot \cdot P_{n-1}^{n}$ 循环因子数量: Gcd( n, i )

　　反射对于偶数n 时，分为 n/2个顶点反射与 n/2个边反射

　　　　　　　　顶点反射循环因子数量：　　n/2+1

　　　　　　　　边反射循环因子数量：　　n/2　　　　　　　　

　　　　对于奇数n 时，仅有 n个顶点+边反射

　　　　　　　　顶点+边循环因子数量：　　n/2+1

解题代码：

View Code

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
typedef long long LL;
LL a[30];
int n;

LL pow( LL x, int k ){
    if( k == 0 ) return 1;
    LL res = pow( x, k/2 );
    res = res*res;
    if( k&1 ) res *= x;
    return res;
}
int gcd(int a, int b)
{
    return ( b == 0 ) ? a : gcd( b , a%b );
}
int main(){
    while( scanf("%d", &n) != EOF )
    {
        if( !(~n)  ) break;
        if( n == 0 ) printf("0\n");
        else if( n == 1 ) printf("3\n");
        else
        {
            LL res = pow(3,n);    
            for(int i = 1; i < n; i++)
                res += pow(3, gcd(n,i) );
            if( n&1 )
                res += 1LL*(n)*( pow(3,n/2+1) );    
            else
                res += 1LL*(n/2)*( pow(3,n/2) + pow(3,n/2+1) );    
            res /= (n<<1);
            printf("%lld\n", res);
        }
    }    
    return 0;
}