[JLOI2016] 成绩比较

最新推荐文章于 2022-10-17 21:04:40 发布

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博客围绕推石子问题展开，先给出课程分数合法分布方案数\(d[i]\)及前\(i\)门课程中\(j\)个人被碾压的合法方案数\(f[i,j]\)的计算方法。重点介绍拉格朗日插值，用于处理\(d[i]\)，已知\(n\)次多项式过\(n + 1\)个点求\(P(k)\)，总时间复杂度为\(O(n^2)\)。

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推石子

首先设\(d[i]=\sum_{t=1}^{U[i]}t^{n-R[i]}(U[i]-t)^{R[i]-1}\)，即第\(i\)门课程分数的合法分布方案数；

然后设\(f[i,j]\)表示前\(i\)门课程中\(j\)个人被碾压的合法方案数，转移有：
\[ \begin{aligned} &f[i,j]=d[i]\times\sum_{k=1}^n\pmatrix{k\\k-j}\pmatrix{n-k-1\\(R[i]-1)-(k-j)}f[i-1,k] &f[0,n-1]=1 \end{aligned} \]
意义为：决策中之前被碾压的\(k\)个中\(k-j\)个翻身了（这一课程的成绩高于B神），没被碾压的\(n-k-1\)个中则剩\((R[i]-1)-(k-j)\)个成绩高于B神，取组合数。

重头戏来了：如何处理\(d[i]\)?

拉格朗日插值

问题描述：已知\(n\)次多项式多项式\(P(x)\)经过了\(n+1\)个不重点\(\{(x_n,y_n)\}\)，求\(P(k)\)。

~~高斯消元求系数表达式什么的就别来了。~~

构造\(n\)个拉格朗日基本多项式\(\ell_j(x)=\prod_{i\not= j} \dfrac{x-x_i}{x_j-x_i}\)，容易得到\(\ell_j(x_j)=1\)，\(\ell_j(x_i\mid i\not=j)=0\)；于是顺理成章地可以构造出\(P(x)\)来
\[ P(x)=\sum_{i=0}^ny_i\ell_i(x) \]
构造\(\{\ell_{j}(x)\}\)是\(O(n^2)\)的，构造\(P(x)\)以及代值计算均是\(O(n)\)的，故总时间复杂度为\(O(n^2)\)。