通过交换相邻元素进行排序的算法所需平均时间为Ω(N^2 )

• 逆序对inversion

  在正序排序算法里，对输入序列中的任一对元素i、j，如果排序靠前的元素i小于靠后的元素j，那么元素i、j组成一个正序对，否则组成一个逆序对(inversion)。

  自然，当我们把输入序列中这些inversions都消除了，排序就完成了。

  交换相邻的元素是消除inversion的方法之一。接下来我们要分析的就是这种排序算法。

• inversion个数与所需交换次数是怎样的关系呢？

  以序列 4,5,3,1,0,2 为例，当我们交换相邻的逆序元素(3,1)之后，序列变成4,5,1,3,0,2，我们消除了几个inversion？答案是只有1个。为什么，先来看原本排在前面的元素3，交换虽然使它的次序向后移动了一位，但是除了1之外，原来在它前面的4,5依然在它前面，原来在后面0,2也依然排在它后面，也就是说，除了inversion（3,1）的次序被纠正了，3和其他元素的相对次序没有发生改变，而交换前排在后面的1的情况也是一样。所以可以得出结论：交换相邻元素形成的逆序对只能消除一个inversion。

  所以，一个序列初始时刻有几个inversions，排序过程中对相邻元素的交换操作就需要进行几次。

• 总时长与inversion个数的关系

对于一个长度为N的输入序列，假设inversion数量为I，因为除了交换之外还需要O(N)的额外工作，所以总时长为O(N+I)。

• 平均情况下，I是多少？

  最优情况下，输入序列呈正序排列，I = 0；

  最坏情况下，输出序列呈倒序排列，I = N(N-1)/2;

  所以平均情况下，I = N(N-1)/4。

• 综上所述，通过交换相邻元素进行排序的算法所需平均时间为Ω(N^2 )。像插入排序、选择排序、冒泡排序都属于这一类算法。这个定理告诉我们要想提高排序算法的效率，不能只对相邻的元素做交换，还需要对相距较远的元素做交换，使得一次交换消除不止一个inversion。

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