均摊分析 学习笔记

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本文概要

1. 引入

2. 简单例子

3. 证明 splay 复杂度

4. 证明 LCT 复杂度

引入

　　为什么 KMP 不能可持久化，而要用 KMP 自动机来代替？

　　为什么 splay 不能可持久化，仅仅只是因为难以维护 father 指针吗？

　　答案是——它们都是基于均摊分析的。

　　均摊是什么？

　　这里有一个容易混淆的概念：期望。

　　期望是指在随机情况下，算法的每种时间复杂度乘上它发生的概率之和。

　　而均摊不一样。它是指总复杂度在一个范围内，但是单次操作的复杂度并不是总复杂度除以操作数，甚至有可能接近总复杂度。

　　

　　本文主要部分参照陈胤伯的《均摊分析简介》改写。

简单例子

问题

　　一个初始值为 0 的 k 位二进制计数器，每次加一。每次加一的运算次数为修改的位数。请问时间复杂度是什么？

证明与答案

　　作为一个简单例子，自然有很多简单证法。

　　例如，这个 k 位二进制数第 i 位，需要每加 $2^i$ 次才会变一次。所以所有位的变化次数之和为

$$\sum_i \frac{n}{2^i} = O(n)$$

　　所以单词操作均摊 $O(1)$ 。

 

　　接下来，引入一种更通用的方法——势能分析。

　　定义势能函数 $\phi$ 表示定义域当前状态的一个函数。

　　定义 $\phi(i)$ 为第 i 次操作后的状态的势能函数值。

　　定义第 i 次操作的实际消耗时间为 $t_i$ 。