Luogu4622 COCI2012-2013#6 JEDAN 组合、DP

传送门

题意：给出一个$N$个数的序列$a_i$，其中$a_i=-1$表示第$i$个位置数字未知，问有多少种用非负整数代替$a_i$中$-1$的方法使得从全$0$序列经过以下操作若干次得到序列$a_i$：每一次从序列中选取一段区间$l,r$，需要保证$l$到$r$中所有数相同，将$[l+1,r-1]$内所有数$+1$。$N \leq 10^4 , a_i \leq 10^4$

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第一次看题没看懂题目语文药丸

注意到一些性质：

$1.$首尾元素一定要是$0$

$2.$相邻两个元素的差一定为$-1,0,1$，因为一次操作可以产生$1$的差，而产生了差的地方就无法再进行操作了。

我们就可以将这道题抽象为：选择若干数量的$-1,0,1$，使得它们的和为$-1$的段的两边的数字的差。

到这里有两种做法：

$1.$DP

设$f_{i,j}$表示补了前$i$个$-1$，总和为$j$的方案数，每一次从$f_{i-1,j-1},f_{i-1,j}.f_{i-1,j+1}$转移，复杂度为$O(n^2)$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 inline int read(){
 5     int a = 0;
 6     bool f = 0;
 7     char c = getchar();
 8     while(!isdigit(c)){
 9         if(c == '-')
10             f = 1;
11         c = getchar();
12     }
13     while(isdigit(c)){
14         a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ '0');
15         c = getchar();
16     }
17     return f ? -a : a;
18 }
19 
20 const int MOD = 1e9 + 7;
21 long long dp[5010] , pot[5010];
22 
23 int main(){
24     int N = read();
25     int a = read();
26     if(a == 0 || a == -1)
27         dp[0] = 1;
28     for(int i = 2 ; i <= N ; i++){
29         int a = read();
30         memset(pot , 0 , sizeof(pot));
31         if(a != -1)
32             if(a > min(i - 1 , N - i)){
33                 cout << 0;
34                 return 0;
35             }
36             else
37                 pot[a] = ((a ? dp[a - 1] : 0) + dp[a] + dp[a + 1]) % MOD;
38         else
39             for(int j = 0 ; j <= min(i - 1 , N - i) ; j++)
40                 pot[j] = ((j ? dp[j - 1] : 0) + dp[j] + dp[j + 1]) % MOD;
41         memcpy(dp , pot , sizeof(pot));
42     }
43     cout << dp[0];
44     return 0;
45 }

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$2.$枚举+组合

预处理出所有连续的$-1$区间的长度和两边的数字的差，枚举$0$的个数，得到$-1$的个数和$1$的个数然后组合数。注意出现数字$<0$的情况，可以将取$-1$和$1$的过程分别看作向右一格和向上一格，就转换成了经典的从$(0,0)$开始不与$y=x-k$相交的走路问题，可以通过组合数算出来。以后再来放代码吧

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