luogu3384 【模板】树链剖分-优快云博客

本文介绍了一种利用线段树优化树状结构的方法，以高效处理路径和子树上的值进行的整体操作。文章详细阐述了如何通过两次深度优先搜索预处理节点的大小、深度、重儿子等信息，并通过设置节点ID来满足特定条件，从而实现快速更新和查询。

题目大意

已知一棵包含N个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：
操作1：格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
操作2：格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
操作3：格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
操作4：格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和

基本概念

对路径和子树上的值进行整体操作，我们要用线段树。每个节点有个Id，对应线段树维护的区间（以后简称区间）上的点。Id要满足以下条件：

所有子树上的节点的Id构成一段连续的区间。
每个节点都属于且只属于一个重链，使得重链上的节点的Id构成一段连续的区间。

对于一个节点u，它的子节点v属于u所在重链当且仅当v是u的孩子中size（子树中元素的个数）最大的。此时v叫做u的重孩子。

连接两个属于不同重链的节点的是轻边，这两个节点的Id之差必大于1。

实现方法

预处理

先Dfs1求出每个节点的Size，深度，并通过Size求出每个节点的重儿子；再Dfs2求出重链（具体表示为每个节点所在链的链头），并按照Dfs序设置每个节点的Id和LastSonId（Dfs到的子树中的最后一个节点的Id）。

子树操作

直接用线段树操作当前节点的Id和LastSonId即可。

路径操作

当两个节点u，v所在重链的链头不同时，令u为所在链头深度较深的节点，用线段树对u的链头的Id和u的Id进行操作，然后u通过与u链头相连的轻边移动到u链头的父亲那里去，如此循环。最后，当u，v所在链头相同时，令u为深度较深的节点，用线段树对v的Id和u的Id操作即可。

注意事项

边的数量应当是节点数量的二倍，因为u到v一条边，v到u也一条边。
令u为所在链头深度较深的节点，而不是令u为深度较深的节点。
路径操作对uv链头不同时的循环完后，即使u==v，也要线段树操作。
由于题目中要求取模，所以struct SplitTree中没有一个+号。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX_NODE = 100010, MAX_EDGE = MAX_NODE*2, MAX_RANGE_NODE = MAX_NODE * 10;
int P;
#define LOOP(i, n) for(int i=1; i<=n; i++)

struct SplitTree
{
private:
#define ModPlus(x, y) ((x)+((y)%P))%P

	struct Node;
	struct Edge;

	struct Node
	{
		Node *HeavySon, *Top, *Father;
		Edge *Head;
		int Size, Id, LastSonId, Weight, Depth;
	}_nodes[MAX_NODE], *Root;

	struct Edge
	{
		Edge *Next;
		Node *From, *To;
	}*_edges[MAX_EDGE];

	int _lastId, _edgeCnt;

	struct RangeTree
	{
	private:
		int Sum[MAX_RANGE_NODE], PlusTag[MAX_RANGE_NODE];
		int TotRange;

		void PushDown(int cur, int sl, int sr)
		{
			if (PlusTag[cur])
			{
				int mid = (sl + sr) / 2;
				PlusTag[cur * 2] = ModPlus(PlusTag[cur * 2], PlusTag[cur]);
				PlusTag[cur * 2 + 1] = ModPlus(PlusTag[cur * 2 + 1], PlusTag[cur]);
				Sum[cur * 2] = ModPlus(Sum[cur * 2], PlusTag[cur] * (mid - sl + 1));
				Sum[cur * 2 + 1] = ModPlus(Sum[cur * 2 + 1], PlusTag[cur] * (sr - mid));
				PlusTag[cur] = 0;
			}
		}

		void PullUp(int cur)
		{
			Sum[cur] = ModPlus(Sum[cur * 2], Sum[cur * 2 + 1]);
		}

		void Update(int cur, int sl, int sr, int al, int ar, int value)
		{
			if (al <= sl && sr <= ar)
			{
				Sum[cur] = ModPlus(Sum[cur], (sr - sl + 1)*value);
				PlusTag[cur] = ModPlus(PlusTag[cur], value);
				return;
			}
			PushDown(cur, sl, sr);
			int mid = (sl + sr) / 2;
			if (al <= mid)
				Update(cur * 2, sl, mid, al, ar, value);
			if (ar > mid)
				Update(cur * 2 + 1, mid + 1, sr, al, ar, value);
			PullUp(cur);
		}

		int Query(int cur, int sl, int sr, int al, int ar)
		{
			if (al <= sl&&sr <= ar)
				return Sum[cur];
			PushDown(cur, sl, sr);
			int mid = (sl + sr) / 2, ans = 0;
			if (al <= mid)
				ans = ModPlus(ans, Query(cur * 2, sl, mid, al, ar));
			if (ar > mid)
				ans = ModPlus(ans, Query(cur * 2 + 1, mid + 1, sr, al, ar));
			PullUp(cur);
			return ans;
		}

	public:
		void Update(int l, int r, int value)
		{
			Update(1, 1, TotRange, l, r, value);
		}

		int Query(int l, int r)
		{
			return Query(1, 1, TotRange, l, r);
		}

		void Init(int totRange)
		{
			memset(Sum, 0, sizeof(Sum));
			memset(PlusTag, 0, sizeof(PlusTag));
			TotRange = totRange;
		}
	}r;

	Edge *NewEdge()
	{
		return _edges[++_edgeCnt] = new Edge();
	}

	void AddEdge(Node *from, Node *to)
	{
		Edge *e = NewEdge();
		e->From = from;
		e->To = to;
		e->Next = e->From->Head;
		e->From->Head = e;
	}

	void Dfs1(Node *cur, Node *father, int depth)
	{
		cur->Size = 1;
		cur->Depth = depth;
		cur->Father = father;
		int maxSonSize = 0;
		for (Edge *e = cur->Head; e; e = e->Next)
		{
			if (e->To != father)
			{
				Dfs1(e->To, cur, depth + 1);
				cur->Size += e->To->Size;
				if (e->To->Size > maxSonSize)
				{
					maxSonSize = e->To->Size;
					cur->HeavySon = e->To;
				}
			}
		}
	}

	void Dfs2(Node *cur, Node *top)
	{
		cur->Top = top;
		cur->Id = ++_lastId;
		r.Update(cur->Id, cur->Id, cur->Weight);
		if (cur->HeavySon)
			Dfs2(cur->HeavySon, top);
		for (Edge *e = cur->Head; e; e = e->Next)
			if (e->To != cur->HeavySon && e->To != cur->Father)
				Dfs2(e->To, e->To);
		cur->LastSonId = _lastId;
	}

	void UpdatePath(Node *u, Node *v, int value)
	{
		while (u->Top != v->Top)
		{
			if (u->Top->Depth < v->Top->Depth)
				swap(u, v);
			r.Update(u->Top->Id, u->Id, value);
			u = u->Top->Father;
		}
		if (u->Depth < v->Depth)
			swap(u, v);
		r.Update(v->Id, u->Id, value);
	}

	int QueryPath(Node *u, Node *v)
	{
		int sum = 0;
		while (u->Top != v->Top)
		{
			if (u->Top->Depth < v->Top->Depth)
				swap(u, v);
			sum = ModPlus(sum, r.Query(u->Top->Id, u->Id));
			u = u->Top->Father;
		}
		if (u->Depth < v->Depth)
			swap(u, v);
		sum = ModPlus(sum, r.Query(v->Id, u->Id));
		return sum;
	}

	void UpdateSubTree(Node *cur, int value)
	{
		r.Update(cur->Id, cur->LastSonId, value);
	}

	int QuerySubTree(Node *cur)
	{
		return r.Query(cur->Id, cur->LastSonId);
	}

public:
	SplitTree(int root, int totNode)
	{
		memset(_nodes, 0, sizeof(_nodes));
		memset(_edges, 0, sizeof(_edges));
		_lastId = _edgeCnt = 0;
		Root = _nodes + root;
		r.Init(totNode);
	}

	void SetNodeWeight(int id, int w)
	{
		_nodes[id].Weight = w;
	}

	void Build(int u, int v)
	{
		AddEdge(_nodes + u, _nodes + v);
		AddEdge(_nodes + v, _nodes + u);
	}

	void Init()
	{
		Dfs1(Root, NULL, 1);
		Dfs2(Root, Root);
	}

	void UpdatePath(int u, int v, int value)
	{
		UpdatePath(_nodes + u, _nodes + v, value);
	}

	int QueryPath(int u, int v)
	{
		return QueryPath(_nodes + u, _nodes + v);
	}

	void UpdateSubTree(int u, int value)
	{
		UpdateSubTree(_nodes + u, value);
	}

	int QuerySubTree(int u)
	{
		return QuerySubTree(_nodes + u);
	}
};

int main()
{
	int totNode, rootId, opCnt, w, u, v, op, val;
	scanf("%d%d%d%d", &totNode, &opCnt, &rootId, &P);
	static SplitTree g(rootId, totNode);
	LOOP(i, totNode)
	{
		scanf("%d", &w);
		g.SetNodeWeight(i, w);
	}
	LOOP(i, totNode - 1)
	{
		scanf("%d%d", &u, &v);
		g.Build(u, v);
	}
	g.Init();
	while (opCnt--)
	{
		scanf("%d", &op);
		switch (op)
		{
		case 1://UpdatePath
			scanf("%d%d%d", &u, &v, &val);
			g.UpdatePath(u, v, val);
			break;
		case 2://QueryPath
			scanf("%d%d", &u, &v);
			printf("%d\n", g.QueryPath(u, v));
			break;
		case 3://UpdateSubTree
			scanf("%d%d", &u, &val);
			g.UpdateSubTree(u, val);
			break;
		case 4://QuerySubTree
			scanf("%d", &u);
			printf("%d\n", g.QuerySubTree(u));
			//printf("100\n");
			break;
		}
	}
	return 0;
}

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