利用分支限界法求解单源最短路(Dijkstra)问题

本文介绍了如何运用分支限界法来解决单源最短路问题。通过优先队列,按照Best first策略扩展节点,并利用剪枝函数排除非最优解。在每次迭代中,更新目标节点的下界并将其加入队列,直至队列为空,从而得到图中所有节点的最短路径。

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分支限界法定义:采用Best fist search算法,并使用剪枝函数的算法称为分支界限法。

分支限界法解释:按Best first的原则,有选择的在其child中进行扩展,从而舍弃不含有最优解的分支,不断重复这一过程,直到找到答案或者判定无解。

分支界限法常常用到优先队列来选择最佳扩展节点,有时也会用到普通队列,以先进先出为原则来进行筛选。

单源最短路问题定义:给定有向图和起点,寻找到达所有点的最短路径。

单源最短路的分支限界法概述:首先把节点加入优先队列,以到当前节点的最短路为下界,之后不断地从队列中取出最优扩展点,观察其可抵达的所有目标节点。

若当前消耗大于等于全局上界及目标节点消耗,则放弃该节点。所示代码因没有规定终点,即每个点都要输出最小路径,则不检查这一步。

若当前路径消耗+两节点间路径消耗<目标节点目前最小消耗(即更新后下界<目标当前下界)
则用不等式左边的和替换掉右边的值,并将该目标节点加入优先队列。

循环这个过程直到队列为空,即可获得图中所有节点的最短路。

代码如下:

#include <queue>
#include <vector>

const int MAX_V = 100;//
### 使用分支限界法求解短路问题 #### 方法概述 分支限界法是一种用于解决组合优化问题的有效方法。对于短路问题,该算法通过构建一棵状态空间树并利用界限函数剪枝来寻找优解。 #### 算法描述 为了应用分支限界法短路问题,可以采用优先队列作为活节点表,并设定一个合理的下界估计值以指导搜索过程。具体来说: - **初始化阶段**:设置起点到自身的距离为零;其他所有顶点的距离设为无穷大。 - **扩展当前节点**:每次从未处理过的节点中选取具有小临时标记的节点进行探索。 - **更新邻接点代价**:当访问某个节点时,计算其相邻未访问节点的新可能路径长度,并已有记录比较决定是否更新。 - **维护边界条件**:如果发现一条更优路线,则调整相应子树内的佳成本预测,从而影响后续的选择策略[^1]。 #### Python 实现示例 下面给出了一种基于上述原理编写的简版本代码片段: ```python import heapq def branch_and_bound_shortest_path(graph, start): # 初始化堆栈和已知短路径字典 queue = [(0, start)] distances = {node: float('inf') for node in graph} distances[start] = 0 while queue: current_distance, current_node = heapq.heappop(queue) if current_distance > distances[current_node]: continue for neighbor, weight in graph[current_node].items(): distance = current_distance + weight # 只有找到更好的路径才会继续深入 if distance < distances[neighbor]: distances[neighbor] = distance heapq.heappush(queue, (distance, neighbor)) return distances ``` 此段程序实现了带权重图上的短路径查找功能,其中`graph`参数应传入表示加权无向图的数据结构(如嵌套字典),而`start`则指定了出发位置。
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