SPOJ - VLATTICE Visible Lattice Points 莫比乌斯反演

观察点在三维空间中的可见性问题

最新推荐文章于 2024-08-23 18:24:46 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/CSU3901130321/p/4424655.html

本文探讨了在三维空间中从某一点观察所有点的可见性问题，通过计算点的个数来解决这一问题。具体而言，文章利用最大公约数（gcd）的概念，区分了不同情况下的点数计算方法，包括没有零点的情况、存在一个零点的情况以及存在两个零点的情况。通过一系列数学推导和代码实现，展示了如何通过编程解决这一几何问题。

题目大意：

从坐标（0,0,0）处观察到所有在（n,n,n)范围内的点的个数，如果一条直线上出现多个点，除了第一个，后面的都视为被遮挡了

这题目稍微推导一下可得知 gcd(x,y,z) = 1的点是可观察到的，若三者的gcd>1，则这个点之前必然出现了一个(x/gcd(x,y,z) , y/gcd(x,y,z) , z/gcd(x,y,z))的点

那么因为 0 是无法计算gcd的，所以先不考虑0

1. x>0 , y>0 , z>0 ans = ∑x<=n∑y<=n∑z<=n[gcd(x,y,z)=1] -> ∑x<=n∑y<=n∑z<=n∑d|gcd(x,y,z) mu[d]

2. 只存在一个0 ans = 3*(∑x<=n∑y<=n[gcd(x,y)=1]) -> 3*(∑x<=n∑y<=n∑d|gcd(x,y) mu[d])

3.3个数两个为0 ans = 3

那么只要将上面的3个值相加就是我们要求的答案了

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN = 1000000;
 5 #define ll long long
 6 int mu[MAXN+5] , prime[MAXN/10];
 7 bool check[MAXN+5];
 8 
 9 void getMu(int n)
10 {
11     memset(check , 0 ,  sizeof(check));
12     int tot=0;
13     check[1] = true , mu[1]=1 , mu[2]=-1;
14     for(int i=2 ; i<=n ; i++){
15         if(!check[i]) prime[tot++]=i , mu[i]=-1;
16         check[i] = true;
17         for(int j=0 ; j<tot ; j++){
18             if(i*prime[j]>n) break;
19             check[i*prime[j]]=true;
20             if(i%prime[j] == 0){
21                 mu[i*prime[j]] = 0;
22                 break;
23             }else{
24                 mu[i*prime[j]] = -mu[i];
25             }
26         }
27     }
28 }
29 
30 int main()
31 {
32    // freopen("a.in" , "r" , stdin);
33     getMu(MAXN);
34     int T , n;
35     scanf("%d" , &T);
36     while(T--)
37     {
38         scanf("%d" , &n);
39         ll ans = 0;
40         for(int i=1 ; i<=n  ; i++){
41             ll tmp1 = (ll)(n/i)*(n/i)*(n/i)*mu[i]; //坐标中一个零都不存在的情况
42             ll tmp2 = (ll)3*(n/i)*(n/i)*mu[i];  //坐标中有一个零的情况
43             ll tmp3 = (ll)3*(n/i)*mu[i]; //坐标中有两个零的情况
44             ans += tmp1+tmp2+tmp3;
45         }
46         printf("%lld\n" , ans);
47     }
48     return 0;
49 }