Sightseeing tour HDU - 1956（混合欧拉回路）

最新推荐文章于 2020-07-13 10:19:27 发布

转载最新推荐文章于 2020-07-13 10:19:27 发布 · 126 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/WTSRUVF/p/9759296.html

本文探讨了在包含单向和双向边的图中寻找欧拉回路的问题，通过网络流算法解决节点出入度不平衡的挑战，确保图中存在欧拉回路的可能性。

题意：

　　有n个点，m条边，其中有单向边和双向边，求是否存在欧拉回路

解析：

　　刚开始想。。。判断一下每个点的度数不就好了。。。emm。。还是年轻啊。。

　　判断是解决不了问题的，因为可能会有某两个点冲突，比如说一个点出度比入度大1，但它只有一条无向边，所以这条无向边要变成入边，但这条无向边的v点也是

　　出度比入度大1，也是需要一条入边，所以这样就会冲突，如果直接判断的话不会判断出来，所以就用到了网络流，

　　设想一下，我们把这条无向边的容量设为1，那么如果用了这条边，容量就会为0，所以不会重复使用，且不产生冲突

具体实现：

　不是我懒。。。是人家讲的真的很好嘛。。。

https://blog.youkuaiyun.com/wall_f/article/details/8237520

1、另x = |入度-出度|/2；对于不同的点有不同的x值，这个x值代表它们在邻接表中相应调整x条就能让出度等于入度。

2、以把图中的点转换为一个二分图，每个点的x值就是它们的点权。

3、置源点S向所有出度>入度的点连边；设置汇点T，所有入度大于出度的点连边，将各自的点权转换为边权。

4、最后将原图中所有暂时定向的无向边加上一个1的容量，方向不变，而有向边不能改变方向，不需连边。

可以发现，从源点S出发的一个单位流将会一个“无向边”的容量变为0，使得两端的点权各自减1，其实这就是在模拟一次对无向边方向的调整。当把图建好后，依靠最大流性质可以最大可能地无冲突调整边的方向，并最终使得每个点的点容量都达到满流。

最后，还要对那些图中出度等于入度的点做适当分析，它们作为一个“中间点”，由于流平衡性质，不会留下任何流量值，对于那些真正需要调整的点不会带来任何影响。

最后，如何得到答案？那就是检查从源点出发的每条边是否都满流，如果有一条边没有满流，说明有一个点没有调整到入度等于出度，于是整个图不存在欧拉回路。

这题保证了只有一个连通块。。虽然我还判断了一下。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <map>
#include <cctype>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <bitset>
#define rap(i, a, n) for(int i=a; i<=n; i++)
#define rep(i, a, n) for(int i=a; i<n; i++)
#define lap(i, a, n) for(int i=n; i>=a; i--)
#define lep(i, a, n) for(int i=n; i>a; i--)
#define rd(a) scanf("%d", &a)
#define rlld(a) scanf("%lld", &a)
#define rc(a) scanf("%c", &a)
#define rs(a) scanf("%s", a)
#define pd(a) printf("%d\n", a);
#define plld(a) printf("%lld\n", a);
#define pc(a) printf("%c\n", a);
#define ps(a) printf("%s\n", a);
#define MOD 2018
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define Pair pair<int, int>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define _  ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
//freopen("1.txt", "r", stdin);
using namespace std;
const int maxn = 10010, INF = 0x7fffffff, LL_INF = 0x7fffffffffffffff;
int n, m, s, t, cnt;
int f[maxn], deg[maxn], in[maxn], out[maxn], vis[maxn];
int d[maxn], head[maxn], cur[maxn];
set<int> ss;

int find(int x)
{
    return f[x] == x ? x : (f[x] = find(f[x]));
}

void init()
{
    for(int i = 1; i < maxn; i++) f[i] = i;
    mem(deg, 0);
    mem(in, 0);
    mem(head, -1);
    mem(out, 0);
    cnt = 0;
//    mem(vis, 0);
    ss.clear();
}

struct edge
{
    int u, v, c, next;
}Edge[maxn];

void add_(int u, int v, int c)
{
    Edge[cnt].u = u;
    Edge[cnt].v = v;
    Edge[cnt].c = c;
    Edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

void add(int u, int v, int c)
{
    add_(u, v, c);
    add_(v, u, 0);
}

bool bfs()
{
    queue<int> Q;
    mem(d, 0);
    Q.push(s);
    d[s] = 1;
    while(!Q.empty())
    {
        int u = Q.front(); Q.pop();
        for(int i = head[u]; i != -1; i = Edge[i].next)
        {
            edge e = Edge[i];
            if(!d[e.v] && e.c > 0)
            {
                d[e.v] = d[e.u] + 1;
                Q.push(e.v);
                if(e.v == t) return 1;
            }
        }
    }
    return d[t] != 0;
}

int dfs(int u, int cap)
{
    int ret = 0;
    if(u == t || cap == 0)
        return cap;
    for(int &i = cur[u]; i != -1; i = Edge[i].next)
    {
        edge e = Edge[i];
        if(d[e.v] == d[u] + 1 && e.c > 0)
        {
            int V = dfs(e.v, min(cap, e.c));
            Edge[i].c -= V;
            Edge[i^1].c += V;
            ret += V;
            cap -= V;
            if(cap == 0) break;
        }
    }
    if(cap > 0) d[u] = -1;
    return ret;
}

int Dinic(int u)
{
    int ans = 0;
    while(bfs())
    {
        memcpy(cur, head, sizeof(head));
        ans += dfs(u, INF);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int u, v, w;
        cin >> n >> m;
        init();
        s = 0, t = n + 1;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            cin >> u >> v >> w;
            in[v]++, out[u]++;
            if(u != v && w == 0) add(u, v, 1);
            int l = find(u);
            int r = find(v);
            if(l != r) f[l] = r;
        }
        int flag = 0, m_sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int x = find(i);
            ss.insert(x);
            if(abs(out[i] - in[i]) & 1)
            {
                flag = 1;
                break;
            }
            if(out[i] > in[i]) add(s, i, (out[i] - in[i]) / 2), m_sum += (out[i] - in[i]) / 2;
            else if(in[i] > out[i]) add(i, t, (in[i] - out[i]) / 2);

        }
        if(flag || ss.size() > 1)
        {
            cout << "impossible" << endl;
            continue;
        }
        if(m_sum == Dinic(s))
            cout << "possible" << endl;
        else
            cout << "impossible" << endl;

    }

    return 0;
}