线性素数筛（欧拉筛）（超级好的MuBan）

欧拉线性素数筛法详解

最新推荐文章于 2024-03-26 13:01:17 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/lcchy/p/10139545.html

本文介绍了一种高效的素数筛选方法——欧拉线性素数筛法，并给出了具体的C++实现代码。该算法能够在线性时间内找出小于等于n的所有素数，适用于需要大量素数的应用场景。

Problem：找出小于等于n的所有素数的个数。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 1e6;

int prime[maxn];  // 欧拉线性素数筛,O(n)
bool vis[maxn];   // 标记

int Prime(int n)  
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    int cnt = 0;                
    vis[0] = vis[1] = true;
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(!vis[i])prime[cnt++] = i;         
        for(int j = 0; j < cnt && i*prime[j] <= n; j ++)
        {
            vis[i*prime[j]] = true;
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
    return cnt;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 0;
    ans = Prime(n);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

if(i % prime[j] == 0) break;

解释：
首先，任何合数都能表示成多个素数的积。所以，任何的合数肯定有一个最小质因子。我们通过这个最小质因子就可以判断什么时候不用继续筛下去了。

当i是prime[j]的整数倍时（i % prime[j] == 0），i*prime[j+1]肯定被筛过，跳出循环。

因为i可以看做prime[j]*某个数， i*prime[j+1]就可以看做 prime[j]*某个数*prime[j+1] 。而 prime[j] 必定小于 prime[j+1]，
所以 i*prime[j+1] 必定已经被 prime[j]*某个数筛掉，就不用再做了√

同时我们可以发现在满足程序里的两个条件的时候，prime[j]必定是prime[j]*i的最小质因子。这个性质在某些题里可以用到。

这样就可以在线性时间内找到素数啦~\(≧▽≦)/~

解释转自https://blog.youkuaiyun.com/tianwei0822/article/details/78309453

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