计数

最新推荐文章于 2024-08-24 11:05:32 发布

weixin_30624825

最新推荐文章于 2024-08-24 11:05:32 发布

阅读量50

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/yoyoball/p/8268966.html

Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 256 MB

description

吐槽

所以说。。组合数的题是不是都是知道大致思路但是就是不会写qwq菜醒qwq

正题

这题其实感觉有点玄妙啊，自己想的话总是会想复杂。。但其实情况还是很好考虑的重点在于怎么枚举

首先讲一下大致思路

总共有4中不同的字符，相邻两个不能相同，那么我们可以考虑两种字符的排列（也就是先考虑$A$和$B$怎么放和$C$和$D$怎么放），然后再把$AB$的放法和$CD$的放法用插空的方式组合起来求得最后的答案

因为处理起来其实是一样的所以这里就只写$AB$的情况了

AB的情况

$A$和$B$有四种最基本的满足要求的摆放：

(1)$A$ (2)$B$ (3)$AB$ (4)$BA$

我们枚举这些字符总共组成了多少个区间（这里的区间指的是在最后合并插空之后这段字符还是连在一起的，也就是说没有$C$和$D$插在中间），设总共有$i$个区间

我们再枚举一下(1)的个数，这时会发现每多一个(1)类区间，$A$的总数就会比$B$多一个，每多一个(2)类区间$A$就会比$B$少一个，而(3)和(4)的话不会对差有任何影响。

由于$A$的个数和$B$的个数是固定的，也就是说$A$和$B$的差是固定的，(1)的个数一旦确定，为了保证$A$和$B$的差满足条件，(2)的个数也就确定下来了。

我们记(1)类区间的个数为$a$，那么(2)类区间的个数就是$b = n1-n2+a$

接着再看(3)和(4)，会发现其实这两类本质上是一样的，我们只用枚举一类然后乘上组合数（其实就是$2^i$，因为每一位可以是$A$或者$B$），这样我们就可以把这两类看做一类了，这剩下的一类的区间总数就是$c=i - a -b$

接下来看怎么算排列

首先对于(1)类和(2)类，我们用掉$a$个$A$和$b$个$B$，排列的方案数显然是$C_{i}^{a} $ * $C_{i-a}^{b}$

对于剩下的(3)和(4)，我们还有$n1+n2-a-b$个字符可以使用，也就是总共有$d=\frac{n1+n2-a-b}{2}$对$AB$

这$d$对字符首先要放进$c$个区间中（那么显然这里就要求$d>=c$了，在枚举的时候要注意范围），如果还有剩余，再将剩余的$d-c$对分配到$i$个区间中，那么方案就是$C_{i+d-c+1}^{i-1}$
为什么是这个东西嘞？
其实问题就相当于求$i$个非负数之和=$d-c$的方案数，我们先在等式两边都加上$i$，然后变成$i$个正整数之和$=i+d-c$，然后用隔板法就好了（枚举分割线在哪个空隙）。
这样操作是因为隔板法的使用前提是不能有空组（否则分割线的数量不一定是分成的份数-1），我们考虑将$i+d-c$分成i个数之后，每个数减去$1$，得到i个非负整数（可以为0），此时这$i$个非负整数的和就是$d-c$了，也就是说这就是我们要求的其中一种方案，其他的情况同理，一一对应，所以这两个问题在组合数中是等价的

我们用$f1$来表示组成$i$个区间的方案数，那么就可以得到：

$f1_i =\sum\limits_{a=0}^{n1+n2}C_{i}^{a}×C_{i-a}^{b}×2^c×C_{i+d-c+1}^{i-1}$

用同样的方式来算$C$和$D$的方案，存到$f2$里面去

接下来看插空

插空有三种插法，下面用(AB)表示$A$和$B$组成的一个区间，(CD)表示$C$和$D$组成的一个区间，三种方法就可以这样表示：

1.（AB)(CD)(AB)(CD)(AB)

2.（CD)(AB)(CD)(AB)(CD)

3.（AB)(CD)(AB)(CD)(AB)(CD)（或者(AB)和(CD)的顺序反过来，所以算的时候要×2）

（其实会发现就是之前分别算$AB$区间和$CD$区间的三大类）

那么$ans$应该就是
\[ ans=\sum\limits_{i=1}^{n1+n2} f1_i*f2_{i-1}+f1_{i}*f2_{i+1}+f1_{i}*f2_{i}*2 \]
然后就十分愉快滴做完啦ovo

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define MOD 1000000007
using namespace std;
const int MAXN=4010;
ll f1[MAXN],f2[MAXN],two[MAXN],C[MAXN][MAXN];
ll ans;
int n1,n2,n3,n4;
int get_c(int n);
int get_f(int num1,int num2,ll *f);
ll calc(int c,int d);

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d%d%d%d",&n1,&n2,&n3,&n4);
    two[0]=1;
    int sum=n1+n2+n3+n4;
    for (int i=1;i<=sum;++i) two[i]=(two[i-1]<<1)%MOD;
    get_c(sum);
    get_f(n1,n2,f1);
    get_f(n3,n4,f2);
    for (int i=1;i<=n1+n2;++i)
        ans=(ans+f1[i]*f2[i-1]%MOD+f1[i]*f2[i+1]%MOD+2LL*f1[i]*f2[i]%MOD)%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
}

int get_c(int n){
    for (int i=0;i<=n;++i){
        C[i][0]=1; C[i][i]=1;
        for (int j=1;j<i;++j)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
    }   
}

int get_f(int num1,int num2,ll *f){
    int a,b,c,d,sum=num1+num2;
    for (int i=0;i<=num1+num2;++i){
        for (a=0;a<=i;++a){//枚举(1)
            b=num1-num2+a;//(2)
            c=i-a-b;//(3)+(4)要填区间
            d=(sum-a-b)/2;//(3)+(4)可用对
            if (b<0||c<0||d<0||d<c) continue;
            f[i]=(f[i]+C[i][a]*C[i-a][b]%MOD*two[c]%MOD*calc(i,d-c)%MOD)%MOD;
        }   
    }
}

ll calc(int c,int d){//c个非负整数之和=d,枚举所有区间填了一个之后剩下的放哪里
    if (!c) return d==0;
    return C[c+d-1][c-1];
}

转载于:https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/8268966.html