<think>我们之前讨论的是通过优化方法计算两个动态SDF场的最小距离,现在用户希望将这个问题转化为KKT条件形式,并嵌入到其他优化问题中。这是一个高级的数学优化问题,需要将原问题重新表述为带约束的优化问题,然后导出KKT条件。###问题转化思路原问题:求两个SDF场的最小距离,即$$d(\mathbf{q})=\min_{\mathbf{p}}\left[\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\right]$$其中$\mathbf{q}$是机器人的状态(例如关节角度),$\mathbf{p}$是空间中的点。为了将其转化为KKT条件形式,我们需要将内层的最小化问题转化为一个约束优化问题。注意,内层问题是一个无约束优化问题,但我们可以通过引入约束条件来重新表述它(虽然这不是必须的,但为了应用KKT条件,我们需要约束)。然而,这里有一个关键点:内层问题本身是无约束的,其最小值点满足一阶条件$\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$。这个条件实际上可以视为一个等式约束。###转化为KKT条件形式考虑将内层优化问题(固定$\mathbf{q}$)重新表述为一个带约束的问题。但注意,内层问题是无约束的,所以我们直接使用一阶必要条件作为等式约束。这样,我们可以将整个问题(包括外层)写成一个带约束的优化问题。定义目标函数为:$$\min_{\mathbf{q},\mathbf{p}}\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})$$但注意,这实际上忽略了内层最小化,因为$\mathbf{p}$和$\mathbf{q}$同时优化。然而,我们真正想要的是:对于每个$\mathbf{q}$,我们取使内层函数最小的$\mathbf{p}$,然后最小化$d(\mathbf{q})$。因此,我们需要一个约束来保证$\mathbf{p}$是最小点。因此,我们引入等式约束:$$\nabla_{\mathbf{p}}\left[\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\right]=0$$这样,我们可以将原问题写为:$$\begin{aligned}\min_{\mathbf{q},\mathbf{p}}\quad&\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\\\text{s.t.}\quad&\nabla_{\mathbf{p}}\left[\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\right]=0\end{aligned}$$注意:这个等式约束正是内层优化问题的一阶必要条件(即最小值点必须满足的条件)。现在,我们可以写出这个优化问题的拉格朗日函数。定义拉格朗日乘子向量$\boldsymbol{\lambda}$(与$\mathbf{p}$同维),则拉格朗日函数为:$$\mathcal{L}(\mathbf{p},\mathbf{q},\boldsymbol{\lambda})=\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})+\boldsymbol{\lambda}^\top\left(\nabla_{\mathbf{p}}\left[\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\right]\right)$$注意:这里约束是等式约束,所以KKT条件包括:1.原始约束:$\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$,其中$f(\mathbf{p},\mathbf{q})=\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})$2.梯度条件:$\nabla_{\mathbf{p},\mathbf{q},\boldsymbol{\lambda}}\mathcal{L}=0$然而,梯度条件需要详细写出:-关于$\boldsymbol{\lambda}$的梯度:就是约束条件本身(已经包含)。-关于$\mathbf{p}$的梯度:$$\nabla_{\mathbf{p}}\mathcal{L}=\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\left[\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\right]^\top\boldsymbol{\lambda}+\text{其他项?}$$这里需要仔细推导。实际上,由于约束是$\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$,而拉格朗日函数中该项已经乘以了$\boldsymbol{\lambda}$,所以关于$\mathbf{p}$的梯度为:$$\nabla_{\mathbf{p}}\mathcal{L}=\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\left(\boldsymbol{\lambda}^\top\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\right)^\top=\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\boldsymbol{\lambda}$$注意:这里$\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f$是Hessian矩阵,是一个对称矩阵(假设函数二阶连续可导),所以转置不变。令$\nabla_{\mathbf{p}}\mathcal{L}=0$,得到:$$\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\boldsymbol{\lambda}=0$$-关于$\mathbf{q}$的梯度:$$\nabla_{\mathbf{q}}\mathcal{L}=\nabla_{\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\boldsymbol{\lambda}^\top\nabla_{\mathbf{q}}\left(\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\right)=\nabla_{\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\boldsymbol{\lambda}^\top\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})$$令$\nabla_{\mathbf{q}}\mathcal{L}=0$,得到:$$\nabla_{\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\left(\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\right)^\top\boldsymbol{\lambda}=0$$因此,完整的KKT条件为:$$\begin{cases}\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0\\\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\boldsymbol{\lambda}=0\\\nabla_{\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\left(\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\right)^\top\boldsymbol{\lambda}=0\end{cases}$$注意:第一个方程和第二个方程可以合并:从第一个方程我们知道$\nabla_{\mathbf{p}}f=0$,代入第二个方程得到$\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f\boldsymbol{\lambda}=0$。如果Hessian矩阵$\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f$可逆,则$\boldsymbol{\lambda}=0$。那么第三个方程变为$\nabla_{\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$。这显然不是我们想要的,因为$\mathbf{q}$的优化不应该被限制在$\nabla_{\mathbf{q}}f=0$的点上。这个矛盾表明,我们上面的拉格朗日函数构造可能存在问题。实际上,我们重新审视问题:我们想要的是在约束$\nabla_{\mathbf{p}}f=0$下最小化$f(\mathbf{p},\mathbf{q})$。但是,在同时优化$\mathbf{p}$和$\mathbf{q}$时,我们还需要满足这个约束。然而,在KKT系统中,我们不仅要求约束成立,还要求关于$\mathbf{p}$和$\mathbf{q}$的梯度条件。这实际上是在寻找一个稳定点,但这个稳定点可能不是最小值点。###另一种思路:将内层优化问题视为一个约束实际上,我们更常用的方法是将内层优化问题的一阶条件作为约束,然后优化外层变量。也就是说,我们想要最小化$d(\mathbf{q})$,而$d(\mathbf{q})$定义为内层优化问题的最小值。那么,我们可以通过以下方式嵌入:$$\begin{aligned}\min_{\mathbf{q},\mathbf{p}}\quad&\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\\\text{s.t.}\quad&\nabla_{\mathbf{p}}\left[\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\right]=0\end{aligned}$$然后,这个优化问题就可以通过KKT条件(即上述拉格朗日函数的稳定点条件)来求解。但是,正如前面所示,这会导致$\boldsymbol{\lambda}=0$(在Hessian可逆时),从而退化为无约束问题,且要求$\nabla_{\mathbf{q}}f=0$,这并不合理。###修正:将内层问题的最优值作为目标,一阶条件作为约束我们真正想要的是:$$\min_{\mathbf{q}}d(\mathbf{q})\quad\text{其中}\quadd(\mathbf{q})=\min_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})$$为了将$d(\mathbf{q})$表达出来,我们使用一阶条件来定义$\mathbf{p}$,即对每个$\mathbf{q}$,$\mathbf{p}$满足$\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$。那么,我们可以将问题写为:$$\min_{\mathbf{q},\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\quad\text{s.t.}\quad\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$$这个问题的KKT条件(即一阶必要条件)就是:$$\begin{aligned}&\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\boldsymbol{\lambda}=0\\&\nabla_{\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\boldsymbol{\lambda}=0\\&\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0\end{aligned}$$注意:第一个和第三个方程联立得到$\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f\boldsymbol{\lambda}=0$。如果Hessian矩阵$\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f$满秩(可逆),则$\boldsymbol{\lambda}=0$,那么第二个方程变为$\nabla_{\mathbf{q}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$。这意味着在最优解处,不仅$\mathbf{p}$是内层问题的临界点,而且$\mathbf{q}$的梯度也为零。这实际上是在寻找一个双变量问题的临界点,而不是我们想要的对于任意$\mathbf{q}$都取内层最小值然后最小化$d(\mathbf{q})$。###正确方法:双层优化问题的KKT条件在数学上,处理双层优化问题通常使用下层问题的KKT条件来代替下层问题,从而将双层问题转化为单层问题。具体地,我们的问题是:上层:$\min_{\mathbf{q}}d(\mathbf{q})=f(\mathbf{p}(\mathbf{q}),\mathbf{q})$,其中$\mathbf{p}(\mathbf{q})$是下层问题的解。下层:$\min_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})$假设下层问题满足某些约束规范(如LICQ),则下层问题的KKT条件为:$$\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0\quad\text{(因为无约束,只有这个条件)}$$注意:无约束问题没有不等式约束,所以KKT条件只有梯度为零。那么,我们可以将双层问题转化为:$$\min_{\mathbf{q},\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\quad\text{s.t.}\quad\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$$这个问题的拉格朗日函数为:$$\mathcal{L}(\mathbf{q},\mathbf{p},\boldsymbol{\lambda})=f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\boldsymbol{\lambda}^\top\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})$$其KKT条件为:1.关于$\mathbf{p}$的梯度:$\nabla_{\mathbf{p}}f+\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f\boldsymbol{\lambda}=0$2.关于$\mathbf{q}$的梯度:$\nabla_{\mathbf{q}}f+\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{q}}f\boldsymbol{\lambda}=0$3.原始约束:$\nabla_{\mathbf{p}}f=0$由1和3可得:$\nabla^2_{\mathbf{p}\mathbf{p}}f\boldsymbol{\lambda}=0$,若Hessian可逆,则$\boldsymbol{\lambda}=0$,然后由2得$\nabla_{\mathbf{q}}f=0$。所以这个KKT系统要求同时满足:$$\nabla_{\mathbf{p}}f=0\quad\text{和}\quad\nabla_{\mathbf{q}}f=0$$即$f$关于$\mathbf{p}$和$\mathbf{q}$的联合临界点。这通常不是我们想要的最小距离点,因为最小距离问题中,$\mathbf{q}$的优化方向是使$f$减小,而这里却要求$\mathbf{q}$的梯度为零。###如何嵌入到其他优化问题中?假设我们有一个主优化问题,例如机器人轨迹优化:$$\min_{\mathbf{q}}J(\mathbf{q})\quad\text{s.t.}\quad\mathbf{g}(\mathbf{q})\leq0,\mathbf{h}(\mathbf{q})=0$$同时要求机器人不与障碍物碰撞,即$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$,其中$d(\mathbf{q})=\min_{\mathbf{p}}[\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})]$。为了处理这个约束,我们有两种常用方法:1.**将$d(\mathbf{q})$作为黑箱函数**:在优化迭代中,对于给定的$\mathbf{q}$,求解内层优化得到$d(\mathbf{q})$和$\nabla_{\mathbf{q}}d$,然后使用约束的梯度信息(如SQP)进行优化。这种方法不直接嵌入KKT条件。2.**将内层问题用其KKT条件代替,从而将碰撞约束转化为一个数学规划问题的约束**:具体地,我们将碰撞约束$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$等价地写为:存在$\mathbf{p}$使得$f(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon$且$\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$。但注意,这并不完全等价,因为可能存在多个$\mathbf{p}$满足$\nabla_{\mathbf{p}}f=0$,而$d(\mathbf{q})$是其中最小的$f$值。因此,我们实际上需要:$$\exists\mathbf{p}\text{suchthat}f(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon\quad\text{and}\quad\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0$$但这样写并不保证$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$,因为可能存在一个$\mathbf{p}'$满足$\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p}',\mathbf{q})=0$且$f(\mathbf{p}',\mathbf{q})\geq\epsilon$,但同时存在另一个点$\mathbf{p}''$(不满足梯度为零,但它是内层问题的极小点)使得$f(\mathbf{p}'',\mathbf{q})<\epsilon$。所以这种方法不可行。###推荐方法:使用值函数约束在数学规划中,处理这种双层约束的一种方法是使用值函数。我们将碰撞约束写为:$$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$$但$d(\mathbf{q})$是下层问题的最优值。为了将其嵌入,我们可以使用如下等价条件:$$\exists\mathbf{p}\text{suchthat}\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon$$注意,这个条件并不等价于$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$,因为$d(\mathbf{q})$是所有$\mathbf{p}$中最小的$f(\mathbf{p},\mathbf{q})$。实际上,$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$等价于:$$\forall\mathbf{p},\text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p})+\text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon$$但这是不可能的,因为当$\mathbf{p}$在机器人内部时,SDF_robot为负。所以这个等价不成立。实际上,$d(\mathbf{q})$是最近距离的SDF值(可能是负的),我们要求$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$(这里$\epsilon$是一个安全阈值,通常为正数表示有间隙,为负数表示允许穿透)。所以约束就是$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$。在优化问题中,我们只能通过内层优化问题来定义$d(\mathbf{q})$。因此,通常采用两种策略:-**惩罚函数法**:将$d(\mathbf{q})$作为黑箱函数,在优化中计算其值和梯度,然后作为约束处理(如内点法)。-**KKT条件嵌入**:将$d(\mathbf{q})$定义为下层问题的最优值,然后要求这个最优值大于等于$\epsilon$。这可以通过补充模型(complementaritymodel)来实现,但非常复杂。###实际嵌入方式如果我们坚持要嵌入KKT条件,那么我们可以将碰撞约束$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$写为:$$\begin{aligned}&\text{find}\mathbf{p}\text{suchthat}\\&\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0\\&f(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon\end{aligned}$$但这并不充分,因为$d(\mathbf{q})$可能由多个局部极小点决定,而$f(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon$只对某个临界点成立,不代表全局最小值大于$\epsilon$。###结论鉴于上述分析,在工程实践中,更实用的方法是:1.在优化算法的每次迭代中,对于当前$\mathbf{q}$,求解内层优化问题得到$d(\mathbf{q})$和$\nabla_{\mathbf{q}}d$。2.将碰撞约束$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$作为非线性约束,使用序列二次规划(SQP)或内点法处理。如果一定要用KKT条件嵌入,则需要将整个问题写为数学规划with均衡约束(MPEC)。具体地,我们引入下层问题的KKT条件作为上层问题的约束:$$\begin{aligned}\min_{\mathbf{q},\mathbf{p},\boldsymbol{\lambda}}\quad&J(\mathbf{q})\\\text{s.t.}\quad&\mathbf{g}(\mathbf{q})\leq0,\quad\mathbf{h}(\mathbf{q})=0\\&\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0\quad\text{(下层KKT)}\\&f(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon\end{aligned}$$注意:这里我们假设下层问题无约束,所以KKT条件只有梯度为零。但这里我们要求$f(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon$,而$\mathbf{p}$是满足$\nabla_{\mathbf{p}}f=0$的某个点。然而,如前所述,这并不能保证$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$,因为可能存在其他局部极小点。###改进的MPEC方法为了保证$d(\mathbf{q})\geq\epsilon$,我们需要确保全局最小值大于$\epsilon$,这通常是非凸优化问题,非常困难。因此,在实际应用中,我们通常只考虑最近的那个局部极小点(通过热启动等方式确保找到全局极小点或足够好的局部极小点)。因此,如果我们能确保在优化过程中,我们找到的$\mathbf{p}$是全局最小点,那么就可以用上述MPEC方法。此时,KKT系统为:$$\begin{aligned}\min_{\mathbf{q},\mathbf{p}}\quad&J(\mathbf{q})\\\text{s.t.}\quad&\mathbf{g}(\mathbf{q})\leq0\\&\mathbf{h}(\mathbf{q})=0\\&\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})=0\\&f(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon\end{aligned}$$然后,这个问题的拉格朗日函数为:$$\mathcal{L}=J(\mathbf{q})+\boldsymbol{\mu}^\top\mathbf{g}(\mathbf{q})+\boldsymbol{\nu}^\top\mathbf{h}(\mathbf{q})+\boldsymbol{\lambda}^\top\nabla_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})+\gamma(\epsilon-f(\mathbf{p},\mathbf{q}))$$其中$\gamma\leq0$(因为不等式约束$f\geq\epsilon$等价于$\epsilon-f\leq0$,所以乘子非正)。然后,我们可以写出KKT条件(这是一个互补问题),但求解起来非常复杂,通常需要专门的MPEC求解器。###总结-**推荐方法**:在优化迭代中实时计算$d(\mathbf{q})$和$\nabla_{\mathbf{q}}d$,作为约束函数及其梯度,嵌入到主优化问题中(如SQP)。-**KKT嵌入方法**:如果你坚持要用KKT嵌入,则可以采用MPEC形式,但要注意局部极小点问题。将内层优化问题的一阶条件作为等式约束,并将$f(\mathbf{p},\mathbf{q})\geq\epsilon$作为不等式约束,同时优化$\mathbf{q}$和$\mathbf{p}$。但这要求我们初始化和优化过程能处理非凸性,并且可能陷入局部最优。###相关问题§§相关问题§§1.在MPEC框架下,如何处理多个局部极小点导致的$d(\mathbf{q})$不准确的问题?2.对于动态SDF场,如何高效求解内层优化问题(即$\min_{\mathbf{p}}f(\mathbf{p},\mathbf{q})$)以满足实时优化需求?3.在机器人轨迹优化中,除了KKT条件嵌入,还有哪些方法可以处理基于SDF的碰撞约束?4.当SDF场不可导(例如在物体边界)时,如何修改KKT嵌入方法?</think>### 将动态 SDF 场最小距离问题转化为 KKT 条件形式
为将动态 SDF 场最小距离问题嵌入到其他优化问题(如轨迹优化),需将其转化为 **KKT 条件形式**。核心思想是将内层优化问题(求最小距离点)的一阶最优性条件作为等式约束,与主优化问题耦合。以下是分步推导:
---
#### 1. **问题重述**
定义两个 SDF 场:
- 静态障碍物场:$ \text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p}) $
- 动态机器人场:$ \text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) $,其中 $\mathbf{q}$ 是机器人状态(如关节角)
最小距离问题等价于:
$$
\min_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} f(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \text{SDF}_{\text{obs}}(\mathbf{p}) + \text{SDF}_{\text{robot}}(\mathbf{p}, \mathbf{q})
$$
#### 2. **内层优化的 KKT 条件**
固定 $\mathbf{q}$ 时,内层优化 $\min_{\mathbf{p}} f(\mathbf{p}, \mathbf{q})$ 的 **一阶最优性条件** 为:
$$
\nabla_{\mathbf{p}} f(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = 0 \quad \text{(等式约束)}
$$
该条件确保 $\mathbf{p}$ 是距离函数的临界点(最小值点需 Hessian 正定)。
#### 3. **完整优化问题形式**
将最小距离约束嵌入主优化问题(如轨迹优化):
$$
\begin{aligned}
\min_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} \quad & J(\mathbf{q}) \quad \text{(主目标函数,如能耗)} \\
\text{s.t.} \quad & \nabla_{\mathbf{p}} f(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = 0 \quad \text{(距离最小点约束)} \\
& g_i(\mathbf{q}) \leq 0, \quad i=1,\dots,m \quad \text{(其他不等式约束)} \\
& h_j(\mathbf{q}) = 0, \quad j=1,\dots,n \quad \text{(其他等式约束)} \\
& f(\mathbf{p}, \mathbf{q}) \geq \epsilon \quad \text{(安全距离约束)}
\end{aligned}
$$
其中 $\epsilon > 0$ 是安全阈值。
#### 4. **拉格朗日函数与 KKT 条件**
定义拉格朗日函数:
$$
\mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, \boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\nu}) = J(\mathbf{q}) + \boldsymbol{\lambda}^\top \nabla_{\mathbf{p}} f(\mathbf{p}, \mathbf{q}) + \boldsymbol{\mu}^\top \mathbf{g}(\mathbf{q}) + \boldsymbol{\nu}^\top \mathbf{h}(\mathbf{q}) + \gamma (\epsilon - f(\mathbf{p}, \mathbf{q}))
$$
- $\boldsymbol{\lambda}$:内层优化约束的乘子(向量)
- $\boldsymbol{\mu} \geq 0, \gamma \leq 0$:不等式约束乘子
- $\boldsymbol{\nu}$:等式约束乘子
对应的 **KKT 条件** 为:
1. **平稳性**:
$$
\nabla_{\mathbf{q}} \mathcal{L} = \nabla_{\mathbf{q}} J + \nabla_{\mathbf{q}} (\boldsymbol{\lambda}^\top \nabla_{\mathbf{p}} f) + \nabla_{\mathbf{q}} (\boldsymbol{\mu}^\top \mathbf{g}) + \nabla_{\mathbf{q}} (\boldsymbol{\nu}^\top \mathbf{h}) - \gamma \nabla_{\mathbf{q}} f = 0
$$
$$
\nabla_{\mathbf{p}} \mathcal{L} = \nabla_{\mathbf{p}} (\boldsymbol{\lambda}^\top \nabla_{\mathbf{p}} f) - \gamma \nabla_{\mathbf{p}} f = 0
$$
2. **原始可行**:
$$
\nabla_{\mathbf{p}} f = 0, \quad \mathbf{g}(\mathbf{q}) \leq 0, \quad \mathbf{h}(\mathbf{q}) = 0, \quad f \geq \epsilon
$$
3. **对偶可行**:
$$
\boldsymbol{\mu} \geq 0, \quad \gamma \leq 0
$$
4. **互补松弛**:
$$
\boldsymbol{\mu}^\top \mathbf{g}(\mathbf{q}) = 0, \quad \gamma (\epsilon - f) = 0
$$
#### 5. **关键梯度计算**
KKT 条件中需计算:
- $\nabla_{\mathbf{p}} f = \nabla_{\mathbf{p}} \text{SDF}_{\text{obs}} + \nabla_{\mathbf{p}} \text{SDF}_{\text{robot}}$
- $\nabla_{\mathbf{q}} f = \nabla_{\mathbf{q}} \text{SDF}_{\text{robot}}$ (因障碍物场与 $\mathbf{q}$ 无关)
- $\nabla_{\mathbf{q}} (\boldsymbol{\lambda}^\top \nabla_{\mathbf{p}} f) = (\nabla_{\mathbf{q}} \nabla_{\mathbf{p}} f) \boldsymbol{\lambda}$ (Hessian-向量积)
动态 SDF 的梯度链式法则:
$$
\nabla_{\mathbf{q}} \text{SDF}_{\text{robot}} = \frac{\partial \text{SDF}_{\text{robot}}}{\partial \mathbf{q}} + \frac{\partial \text{SDF}_{\text{robot}}}{\partial \mathbf{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial \mathbf{q}}
$$
其中 $\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial \mathbf{q}}$ 通过隐函数定理从 $\nabla_{\mathbf{p}} f = 0$ 推导[^4]。
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### 嵌入到其他优化问题中的实现步骤
#### 1. **问题耦合**
将 KKT 系统作为约束添加到主优化问题(如机器人轨迹规划):
```math
\begin{aligned}
\min_{\mathbf{q}, \mathbf{p}, \boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\nu}, \gamma} \quad & J(\mathbf{q}) \\
\text{s.t.} \quad & \text{KKT conditions hold}
\end{aligned}
```
#### 2. **数值求解方法**
- **序列二次规划 (SQP)**:
在迭代点线性化 KKT 条件,求解二次子问题。
- **内点法**:
处理不等式约束 $f \geq \epsilon$ 和 $\mathbf{g}(\mathbf{q}) \leq 0$,引入障碍函数。
#### 3. **算法流程**
```python
def solve_embedded_optimization():
q, p = initialize() # 初始化状态和空间点
for k in range(max_iter):
# 计算当前 SDF 场和梯度
f_val = SDF_obs(p) + SDF_robot(p, q)
grad_p_f = grad_SDF_obs(p) + grad_SDF_robot_p(p, q)
grad_q_f = grad_SDF_robot_q(p, q)
# 构建 KKT 系统(包括主目标和其他约束)
KKT_residual = compute_KKT(q, p, f_val, grad_p_f, grad_q_f)
# 求解 KKT 系统更新变量
delta = linear_solver(KKT_residual)
q, p = update(q, p, delta)
if convergence_check(KKT_residual):
break
return q, p
```
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### 优势与挑战
| **优势** | **挑战** |
|-----------------------------------|-----------------------------------|
| • 精确解析解(无采样误差) | • 需计算二阶导数(Hessian 矩阵) |
| • 自然处理动态几何[^3] | • KKT 系统维度高(需高效求解器) |
| • 兼容标准优化框架(如 IPOPT)[^1] | • 非凸性导致局部极小值 |
> **应用场景**:机械臂轨迹优化中,将碰撞约束通过 KKT 形式嵌入,实现实时安全规划。
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### 相关问题