[COGS 2877]老m凯的疑惑

最新推荐文章于 2021-04-08 18:51:52 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/8175894.html

本文介绍了一道由退役选手Margatroid提出的数学题目及其算法解答过程。通过数学推导，将复杂的问题简化为简单的计算公式，并给出了具体的C++代码实现。

Description

Margatroid退役之后沉迷文化课

这天，写完数学作业之后的他脑洞大开，决定出一道比NOIP2017 D1T1《小凯的疑惑math》还要好的题

题面是这样的

$$ f(n)=n^2\\ g(n)=\sum_{i=1}^{n^3}[f(i)<n]\\\\ k(n)=\sum_{i=1}^{n^3}[g(i)<n] $$

试求$k(n)\ \text{mod}\ 998244353$

Input

一行一个整数$n$

Output

一行一个整数$k(n)$

Sample Input

Sample Output

Hint

出题人沉迷文化课，无心造数据，满足数据是以10为首项，10为公比的等比数列

题解

由题： $$g(n) = \sum_{i=1} [i^2 < n]$$

显然：

$$g(n) =
\begin{cases}
\sqrt n-1& \text{ n 是完全平方数}\\
\lfloor \sqrt n \rfloor& \text{otherwise}
\end{cases}$$

构造等价函数： $$g(n) = \lfloor \sqrt {n-1} \rfloor$$

同理，由题： $$k(n) = \sum_{i=1} [\sqrt {i-1} < n]$$

因为 $n$ 是正整数，所以 $k(n)$ 等价于：

\begin{aligned}
   k(n) &= \sum_{i=1} [i-1 < n^2]\\
   & = \sum_{i=1} [i <= n^2]\\
   & = n^2
\end{aligned}

 1 //It is made by Awson on 2018.1.2
 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <cstdio>
 9 #include <string>
10 #include <vector>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
17 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
18 using namespace std;
19 const LL MOD = 998244353;
20 
21 LL n;
22 
23 void work() {
24     scanf("%lld", &n);
25     n = n%MOD*n%MOD;
26     printf("%lld\n", n);
27 }
28 int main() {
29     work();
30     return 0;
31 }