Tyche 2191 WYF的递推式

最新推荐文章于 2024-12-04 21:52:21 发布

weixin_30613433

最新推荐文章于 2024-12-04 21:52:21 发布

阅读量116

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/fantasquex/p/9866806.html

本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定递推问题的方法，针对大规模数据输入（N<=1e18），实现了O(lg(N))的时间复杂度。通过逐步推导，将原始递推式转化为适用于矩阵运算的形式，利用矩阵快速幂高效求解Fn模P的余数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

WYF手中有这样一条递推式

无标题.png

WYF并不是想让你帮他做出结果，事实上，给定一个n，他能够迅速算出F_n。WYF只是想单纯的考验一下读者们。

输入描述

仅一行，三个整数N，F₁，P

输出描述

仅一行，表示F_n模P的余数。

样例输入

5 1 100

样例输出

注释

对20%的数据，N≤1000。

对50%的数据，N≤10000000。

对100%的数据，N、F₁≤10¹⁸，P≤10⁹

解题思路

N<=1e18，最后的复杂度应该是O(1)或者O（lg（N））

直接模拟式o（N^2）的，显然不行，虽然可以骗到20分。

考虑累加中每一项之前都乘了n^2，可以算一下f(n+1)-f(n)

F(n)=F(n-1)+(n-1)∑(k=1) (n-k)*F(k)(n>=3)

每一个f之前都乘了n，所以考虑再减一下

F(n)=2*F(n-1)-F(n-2)+(n-1)∑(k=1)F(k) (n>=4)

那如果再减一下，是不是就没有∑了，于是我又减了一下

F(n)=4*F(n-1)-3*F(n-2)+F(n-3) (n>=5)

看到这个样子就很舒服了，明显矩阵快速幂，但是我手残，总是忘记longlong越界之类的问题，调了一下午，终于过了。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 long long n,p,t;
 6 struct mat
 7 {
 8     long long a[4][4];
 9     mat()
10     {
11         memset(a,0,sizeof(a));
12     }
13     mat operator * (mat x)
14     {
15         mat ans;
16         for(int i=1;i<=3;i++)
17             for(int j=1;j<=3;j++)
18                 for(int k=1;k<=3;k++)
19                     ans.a[i][j]+=a[i][k]*x.a[k][j],ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+p)%p;
20         return ans;
21     }
22 }f,chg;
23 mat mul(mat x,long long k)
24 {
25     mat res;
26     res.a[1][1]=res.a[2][2]=res.a[3][3]=1;
27     for(long long i=k;i;i>>=1,x=x*x)
28         if(i&1)
29             res=res*x;
30     return res;
31 }
32 int main()
33 {
34     scanf("%lld%lld%lld",&n,&t,&p);
35     if(n==1||n==2)
36         printf("%lld\n",t%p);
37     else if(n==3)
38         printf("%lld\n",(4*t)%p);
39     else if(n==4)
40         printf("%lld\n",(13*(t%p))%p);
41     else
42     {
43         f.a[1][1]=(13*(t%p))%p,f.a[1][2]=(4*t)%p,f.a[1][3]=t%p;
44         chg.a[1][1]=4,chg.a[1][2]=1,chg.a[1][3]=0,chg.a[2][1]=-3,chg.a[2][2]=0,chg.a[2][3]=1,chg.a[3][1]=1,chg.a[3][2]=0,chg.a[3][3]=0;
45         chg=mul(chg,n-4);
46         f=f*chg;
47         printf("%lld\n",f.a[1][1]);
48     }
49     return 0;
50 }