【BZOJ3601】一个人的数论 高斯消元+莫比乌斯反演

【BZOJ3601】一个人的数论

题解：本题的做法还是很神的~

那么g(n)如何求呢？显然它的常数项=0，我们可以用待定系数法，将n=1...d+1的情况代入式子中解方程，有d+1个方程和d+1个未知数，直接高斯消元解出ai即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
int d,n;
ll ans;
ll v[110][110],pa[1010],pb[1010];
ll pm(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=z*x%P;
		x=x*x%P,y>>=1;
	}
	return z;
}
void gauss()
{
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=d+1;i++)
	{
		for(j=i;j<=d+1;j++)	if(v[j][i])	break;
		if(i!=j)	for(k=i;k<=d+2;k++)	swap(v[i][k],v[j][k]);
		ll tmp=pm(v[i][i],P-2);
		for(k=i;k<=d+2;k++)	v[i][k]=v[i][k]*tmp%P;
		for(j=1;j<=d+1;j++)	if(i!=j)
		{
			tmp=v[j][i];
			for(k=i;k<=d+2;k++) v[j][k]=(v[j][k]-tmp*v[i][k]%P+P)%P;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&d,&n);
	int i,j;
	for(i=1;i<=d+1;i++)
	{
		for(j=1;j<=d+1;j++)	v[i][j]=pm(i,j);
		for(j=1;j<=i;j++)	v[i][d+2]=(v[i][d+2]+pm(j,d))%P;
	}
	gauss();
	for(i=1;i<=n;i++)	scanf("%lld%lld",&pa[i],&pb[i]);
	for(i=1;i<=d+1;i++)
	{
		ll tmp=1;
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			tmp=tmp*(pm(pa[j],pb[j]*i)-pm(pa[j],d+(pb[j]-1)*i)%P+P)%P;
		}
		ans=(ans+tmp*v[i][d+2]%P)%P;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}//3 2 2 1 5 1

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