$bzoj1025-SCOI2009$游戏群论 $dp$

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#数据结构与算法

本文探讨了置换群论在解决特定数学问题中的应用，通过分析数字排列的循环节特性，利用DP算法高效求解可能的排数。文章详细解释了如何将原问题转化为求解最小表示法数列的过程，并提供了完整的代码实现。

题面描述
- $windy$学会了一种游戏。对于$1$到$N$这$N$个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始$windy$把数字按顺序$1,2,3,\cdots,N$写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为$1,2,3,\cdots,N$。如：$ 1 2 3 4 5 6$ 对应的关系为 $1\to 2\ 2\to 3\ 3\to 1\ 4\to 5\ 5\to 4\ 6\to 6$ ，$windy$的操作如下：
- ```
1 2 3 4 5 6 
2 3 1 5 4 6 
3 1 2 4 5 6 
1 2 3 5 4 6 
2 3 1 4 5 6 
3 1 2 5 4 6 
1 2 3 4 5 6 
```
- 这时，我们就有若干排$1$到$N$的排列，上例中有$7$排。现在$windy$想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。
输入格式
- 包含一个整数$N,1 \leq N \leq 10^3$
输出格式
- 包含一个整数，可能的排数。
题解
- 在做此题前，建议各位先行了解群论及置换概念。
- 在了解置换的概念后，我们不难发现原题可以抽象为对于$1$～$n$的排列的所有可能置换统计通过置换回到原排列的可能不同次数。
- 我们可以将置换写成循环节的形式，即$(a\ b\ c)(d\ e)(f)$，由循环节的性质得通过该置换回到原排列的次数为$lcm$（各循环节长度）。
  - 简单证明：
  - 一个循环节最后回到自己需$k*len\ (k\in N^*)$，$len$为循环节长度。
- 让所有循环节同时回到自己需$lcm(len_1,\cdots,len_x)$，$x$为总循环节个数。
- 现在，我们把题意转化为求所有{$a_m$}，使$\sum_{i=1}^m a_i$=n，求这样的数列的$lcm(a_1,\cdots,a_m)$的不同个数。
- 当你用当前结论做$dp$时，不难发现，你无论怎样$dp$都会重复计数。
- 我们考虑反过来做，当我们能得到$lcm=\prod_{i=1}^k p_i$，要使得能得到该$lcm$的和最小的数列为，即$a_i=p_i^r$。
  - 证明：可类比字符串中最小表示法，如此对于一个$p_i$，我们有唯一表示其的方法。又因为质因数分解也是唯一的，因此对于$lcm$，我们得到唯一表示其的数列。
- 然后，问题进一步转化为找到所有以质因数为数列，且$s_n\leq n$的数列个数，当$s_n<n$时余下的用长度为1的循环节代替。
- 这样，我们对所有$p_i^1,p_i^2,\cdots,p_i^r$做背包即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e3+4;
int pri[MAXN];
bool use[MAXN];
int n;
ll f[MAXN][MAXN];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!use[i]) pri[++pri[0]]=i;
        for (int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=n;j++){
            use[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
//  cout<<pri[0]<<endl;
    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=pri[0];i++){
        for (int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=f[i-1][j];
        for (int j=pri[i];j<=n;j*=pri[i]){
            for (int k=0;k<=n-j;k++){
                f[i][j+k]+=f[i-1][k];
            }
        }
    }
    ll ans=0;
    for (int i=0;i<=n;i++) ans+=f[pri[0]][i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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