POJ1275/ZOJ1420/HDU1529 Cashier Employment (差分约束)

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原文链接：http://www.cnblogs.com/fraud/p/4304350.html

本文探讨了一种经典差分约束问题的解决方案，旨在通过算法优化来确定满足特定需求条件下的最小出纳员配置数量。文章详细介绍了如何构建问题模型，并通过一系列方程组来表示时间需求与应聘人数之间的关系。利用二分查找法优化搜索过程，最终实现高效求解。案例展示了在实际应用中如何通过数学模型和算法来解决资源分配问题。

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题意：一商店二十四小时营业，但每个时间段需求的出纳员不同，现有n个人申请这份工作，其可以从固定时间t连续工作八个小时，问在满足需求的情况下最小需要多少个出纳

一道十分经典的差分约束题目，在构图上稍有难度

为避免负数，时间计数1～24。

令：

r[i]表示i时间需要的人数（1<=i<=24）

num[i]表示i时间应聘的人数（1<=i<=24）

x[i]表示i时间录用的人数（0<=i<=24），其中令x[0]=0

再设s[i]=x[0]+x[1]+……+x[i] （0<=i<=24），

由题意，可得如下方程组：

(1) s[i]-s[i-8]>=R[i] (8<=i<=24)

(2) s[i]-s[16+i]>=R[i]-s[24] (1<=i<=7)

(3) s[i]-s[i-1]>=0 (1<=i<=24)

(4) s[i-1]-s[i]>=-T[i] (1<=i<=24)

这样就得到了四个相同形式的大于等于方程组，我们只需要枚举s[24]即可处理。可以使用二分优化。

ps:对于A-B>=C的方程，即连一条从B至A的权值为C的有向边。

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstring>
  3 #include <cstdio>
  4 #include <queue>
  5 #define REP(A,X) for(int A=0;A<X;A++)
  6 using namespace std;
  7 #define INF 0x7fffffff
  8 #define MAXN 10010
  9 struct node{
 10     int v,d,next;
 11 }edge[MAXN];
 12 int head[110];
 13 int inihead[110];
 14 int e=0;
 15 void init()
 16 {
 17     e=0;
 18     REP(i,110)head[i]=-1;
 19 }
 20 void add_edge(int u,int v,int d)
 21 {
 22     edge[e].v=v;
 23     edge[e].d=d;
 24     edge[e].next=head[u];
 25     head[u]=e;
 26     e++;
 27 }
 28 int dis[MAXN];
 29 int vis[MAXN];
 30 int cnt[MAXN];
 31 int r[MAXN];
 32 int num[MAXN];
 33 int spfa(int mid){
 34     REP(i,25)vis[i]=0;
 35     REP(i,25)dis[i]=-INF;
 36     REP(i,25)cnt[i]=0;
 37     queue<int>q;
 38     q.push(0);
 39     vis[0]=1;
 40     cnt[0]++;
 41     dis[0]=0;
 42     while(!q.empty())
 43     {
 44         int x=q.front();
 45         q.pop();
 46         for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
 47         {
 48             int y=edge[i].v;
 49             int d=edge[i].d;
 50             if(dis[y]<dis[x]+d)
 51             {
 52                 dis[y]=dis[x]+d;
 53                 if(!vis[y])
 54                 {
 55                     q.push(y);
 56                     vis[y]=1;
 57                     cnt[y]++;
 58                     if(cnt[y]>25)return false;
 59                 }
 60             }
 61         }
 62         vis[x]=0;
 63     }
 64     return 1;
 65 
 66 }
 67 
 68 int main()
 69 {
 70     ios::sync_with_stdio(false);
 71     //freopen("in.in","r",stdin);
 72     int t;
 73     scanf("%d",&t);
 74     while(t--)
 75     {
 76         REP(i,24)scanf("%d",&r[i+1]);
 77         int n;
 78         int a;
 79         scanf("%d",&n);
 80         REP(i,25)num[i+1]=0;
 81         REP(i,n){
 82             scanf("%d",&a);
 83             num[a+1]++;
 84         }
 85         init();
 86         for(int i=1;i<=24;i++){
 87             if(i>7)add_edge(i-8,i,r[i]);
 88             add_edge(i,i-1,-num[i]);
 89             add_edge(i-1,i,0);
 90         }
 91         int tempe=e;
 92         REP(i,25)inihead[i]=head[i];
 93         int x=0,y=n;
 94         int ans=INF;
 95         while(x<y)
 96         {
 97             e=tempe;
 98             int mid=(x+y)/2;
 99             REP(i,25) head[i]=inihead[i];
100             for(int i=1;i<8;i++) add_edge(i+16,i,r[i]-mid);
101             add_edge(0,24,mid);
102             if(spfa(mid)){
103                 y=mid;
104                 ans=min(mid,ans);
105             }
106             else{
107                 x=mid+1;
108             }
109         }
110         if(ans>n)printf("No Solution\n");
111         else printf("%d\n",ans);
112     }
113     return 0;
114 }