已知完全二叉树的结点数,求叶子节点数

本文详细解析了完全二叉树的定义及特点,通过数学公式推导出如何计算完全二叉树中叶子节点的数量,并给出了具体实例。对于理解数据结构中的二叉树类型及其性质具有重要意义。

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定义:若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树

例题:假如⼀个完全⼆叉树中有743个节点, 则该⼆叉树中的叶子节点个数为?

假设完全二叉树中,度为0的叶子结点为n0,度为1的结点为n1,度为2的结点为n2,总结点数为n。

则n=n0+n1+n2;

并且有n-1=2n2+n1;

如果总结点数为奇数,则n1为0,为偶数,则n1为1;

带入式子求得n0:

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转载于:https://www.cnblogs.com/runhua/p/9604671.html

### 完全二叉树的高度公式算法 对于完全二叉树,其高度可以通过节点数来计算。完全二叉树的定义决定了其构特性:除了最后一层外,其他每一层都是满的,并且最后一层的节从左到右填充[^3]。 如果一个完全二叉树有 \( n \) 个节,那么它的高度 \( h \) 可以通过以下公式计算: \[ h = \lfloor \log_2(n+1) \rfloor \] #### 公式推导 1. 假设完全二叉树的高度为 \( h \),则该树的节点数范围为: \[ 2^h \leq n < 2^{h+1} \] 这是因为高度为 \( h \) 的完全二叉树至少有 \( 2^h \) 个节(当只有最底层的一个节时),最多有 \( 2^{h+1} - 1 \) 个节(当最底层被完全填满时)[^3]。 2. 对上述不等式取对数: \[ h \leq \log_2(n+1) < h+1 \] 3. 因此,高度 \( h \) 可以表示为: \[ h = \lfloor \log_2(n+1) \rfloor \] #### 算法实现 以下是基于上述公式的算法实现,用于计算给定节点数 \( n \) 的完全二叉树的高度: ```python import math def get_height_of_complete_binary_tree(n): if n == 0: return 0 # 如果没有节,则高度为0 return math.floor(math.log2(n + 1)) ``` #### 示例 假设完全二叉树有 \( n = 7 \) 个节,则其高度为: \[ h = \lfloor \log_2(7+1) \rfloor = \lfloor \log_2(8) \rfloor = \lfloor 3 \rfloor = 3 \] 如果完全二叉树有 \( n = 10 \) 个节,则其高度为: \[ h = \lfloor \log_2(10+1) \rfloor = \lfloor \log_2(11) \rfloor = \lfloor 3.459 \rfloor = 3 \] #### 注意事项 - 当节点数 \( n = 0 \) 时,高度为 0。 - 高度的定义是从根节到最远叶子的路径长度,因此根节的高度为 0。
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