n*n方格从左下角走到右上角不穿过主对角线的非降路径数

如题，是一道组合数学题

http://blog.youkuaiyun.com/super_chris/article/details/6113779

http://zhidao.baidu.com/question/3949233.html&__bd_tkn__=2ba55324346d93354218a167b8fa35ba8a1f8bfe8078338d51fed8133ea5c69d362ad36bb4bcda3b39bb3949f6bbe47087ac3af56e60b1f4e7eb60157b55f93b9f64aae6065506c64a0a3774d432bb7b490192027c5fbe8da04f347a762d475cbe170d303ac5acafe819fdb9ced68c08cb3c20ff

http://wenku.baidu.com/view/7891bcc089eb172ded63b7c6.html

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有同学提到，这个题还可以规约到“选举问题”（我们之前做过这道题），规约，非常好的思路！

选举问题：假定一次选举中,候选人甲得a票,候选人乙得b票,且a＞b，将全部a+b张选票按某种顺序排列，依次计票时,甲的票数总比乙的票数多，问这种排列方法有多少种？（假定甲的a张选票都相同，乙的b张选票都相同）

答案是：C(a + b, a) - 2C(a + b - 1, a)，C(M,N)是M中取N的方法数。具体解法看这里的文档（作者不详） http://pan.baidu.com/share/link?shareid=72604&uk=1292515846

原问题的不穿过可以分为两类：(1)路径上点的横坐标总是>=纵坐标(2)路径上点的横坐标总是<=纵坐标，这两类路径关于对角线对称，构成一一映射，所以这两类个数相等。

考虑情况(1)，就相当于甲乙两人各有n票，要求计票过程中甲的票数>=乙的票数，求有多少种排列方法。现在还有一点点问题：这里是>=，而选举问题是>。我们假设在2n票之前还有甲的1票，这样计票过程中甲的票数总是严格大于乙。

记“甲乙两人各有n票，计票过程中甲的票数总是>=乙的票数”为情况A，记“甲有n+1票,乙有n票,计票过程中甲的票数总是严格>乙的票数”为情况B，可知A和B可建立一一对应。而B是标准的选举问题，a=n+1, b = n，结果为C(2n+1,n+1)-2C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)

情况2个数相同，所以总数是2C(2n,n)/(n+1)

 

转载于:https://www.cnblogs.com/fstang/archive/2012/10/06/2713461.html